Aula 1: (27/02/07) Imersões, submersões, mergulhos, teorema do valor regular, transversalidade, intersecção de variedades. Teorema do mergulho de Whitney.

Aula 2: (06/03/07) Variedades com bordo e sub-variedades "arrumadas" ("neat"). Teorema do valor regular para variedades com bordo. Topologia forte e topologia fraca em C^r(M,N). Densidade dos mergulhos para N = R^k e k>2 dim M e de imersões para k>= 2 dim M. Os conjuntos de imersões, submersões, mergulhos, aplicações próprias e difeomorfismos são abertos na topologia forte.

Aula 3: (13/03/07) Convoluções, densidade de C^s(M,N) em C^r(M,N) na topologia forte, para s>r. Densidade de imersões, submersões, mergulhos, aplicações próprias e difeomorfismos de classe C^s no conjunto de aplicações do mesmo tipo de classe C^r. Uma variedade diferencial tem uma única estrutura de variedade C^infinito. Propriedade de Baire da topologia fraca e forte em C^r(M,N). Teorema de Morse-Sard. Teorema do ponto fixo de Brouwer. M compacta não se retrai no bordo.

Aula 4: (20/03/07) Classes ricas de aplicações. Teorema de globalização. Teorema de transversalidade. Transversalidade paramétrica. Fibrados vectoriais: revisões, sequências exactas. Fibrados vectoriais orientados.

Aula 5: (27/03/07) Fibrado normal a uma sub-variedade. Resultados sobre sub-variedades de N que separam N. Vizinhanças tubulares e "golas" ("collars"). Grau, grau mod 2, invariância por homotopia. Teorema da bola cabeluda.

Aula 6: (03/04/07) Teoremas de Hopf para aplicações para S^n. Número de intersecção, invariância por homotopia. # está bem definido em homologia.

Aula 7: (17/04/07) Número de Euler de um fibrado vectorial orientado e característica de Euler de uma variedade. Índice de campo vectorial com zeros isolados, degenerados ou não. Aplicação de Gauss e característica de Euler. Teorema de Poincaré-Hopf. Fibrados com número de Euler 0 têm uma secção sem zeros.

Aula 8: (24/04/07) Teoria de Morse: introdução, funções de Morse, índice de um ponto crítico, lema de Morse, abundância das funções de Morse numa variedade, teorema do intervalo regular, teorema de Reeb, alteração de topologia correspondente ao cruzamento de um nível crítico de índice k, tipo de uma função de Morse, desigualdades de Morse, relação entre o número de pontos críticos de índice k e o número de Betti k.

Aula 9: (08/05/07) Polinómio de Morse, polinómio de Poincaré e desigualdades de Morse. Funções de Morse perfeitas. Princípio das lacunas de Morse; Pontos críticos completáveis; exemplos. Variedades críticas não-degeneradas. Funções de Morse-Bott, Polinómio de Morse-Bott e desigualdades de Morse. Exemplos. Classificação de fibrados vectoriais: extensões de monomorfismos de fibrados vectoriais para o fibrado trivial de rank suficientemente grande, fibrado universal sobre a Grassmaniana G_k,s, aplicações classificantes de fibrados vectoriais, teorema de classificação.

Aula 10: (15/05/07) Cobordismo: grupos de cobordismo não-orientado e orientado, homotopia de aplicações e cobordismo de pré-imagens de uma variedade, espaço de Thom de um fibrado vectorial, homomorfismo de Thom não-orientado e orientado, teorema fundamental do cobordismo (Thom). Enunciado do teorema de Thom para os grupos de cobordismo orientado em dimensões iguais ou não a 0 mod 4. Descrição esquemática de alguns passos principais da demonstração e dos números de Pontrjagin de uma variedade compacta orientável.

Aula 11: (22/05/07) Cobordismo referenciado ("framed cobordism"): variedades de Pontrjagin, teorema de Pontrjagin para classes de cobordismo de variedades de Pontrjagin, (re)derivação dos teoremas de Hopf. Introdução à homologia de Morse: variedade estável e instável de um ponto crítico não-degenerado, fluxos de Morse-Smale, exemplo. Variedades de trajectórias, orientação de variedades de trajectórias. Complexo de Morse-Smale-Witten e operador de bordo; discussão esquemática da nilpotência do operador de bordo, homologia de Morse.

Aula 12: (29/05/07) Exemplos e discussão esquemática do isomorfismo entre a homologia de Morse e a homologia singular. Reinterpretação homológica das desigualdades de Morse em termos do complexo de Morse-Smale-Witten. Supersimetria e teoria de Morse: o Laplaciano Δ_t de Witten, limite t->+infinito e formas-k de baixa energia localizadas em pontos críticos de índice k; reinterpretação das desigualdadse de Morse fortes; deformação da cohomologia de de Rham (t=0) na (co)homologia de Morse (t-> +infinito).