Análise Complexa e Equações Diferenciais — 1º Semestre de 2015/2016
Engª Aeroespacial, Engª do Ambiente e Engª de Materiais



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Planeamento das Aulas Teóricas

Semana 1 (14 a 18 de Setembro)
Aula 1   Apresentação. Funcionamento da disciplina. Corpo dos números complexos; representação geométrica. Números complexos na forma polar. Fórmula de Euler.
Aula 2   Produto e quociente de números complexos na forma polar. Fórmula de Moivre. Raiz índice n de um número complexo. Sucessões de termos complexos. Limites de sucessões de termos complexos.
Aula 3   Propriedades dos limites de sucessões complexas. Séries numéricas: reais ou complexas. Sucessão das somas parciais de uma série. Convergência; natureza de uma série. Série geométrica.
Aula 4   Condição necessária para a convergência de uma série. Soma de séries convergentes; produto de uma série convergente por um escalar. Séries de Mengoli. Critério de Cauchy. Série harmónica.
Semana 2 (21 a 25 de Setembro)
Aula 5   Convergência absoluta. Séries de termos reais não negativos. Critério geral de comparação e corolários. Critério de D'Alembert e critério da raiz.
Aula 6   Série de Dirichlet. Séries de termos sem sinal fixo. Critério de Leibniz. Séries de potências. Exemplos.
Aula 7   Teorema de Abel. Raio de convergência e região (ou domínio) de convergência de uma série de potências. Funções complexas elementares. Exponencial complexa.
Aula 8   Funções complexas de variável complexa: definições e notação. Funções polinomiais, funções racionais. Funções trigonométricas. Funções hiperbólicas. Logaritmo complexo. Ramos da função logaritmo e valor principal. Potência de expoente complexo; ramos da função potência e valor principal.
Semana 3 (28 de Setembro a 2 de Outubro)
Aula 9   Limites e continuidade de funções complexas de variável complexa. Exemplos; continuidade dos ramos do logaritmo.
Aula 10   Definição da derivada de uma função complexa de variável complexa. Equações de Cauchy-Riemann. Relação entre derivada (complexa) e derivada no sentido dos campos de R² para R²: teorema de Cauchy-Riemann-Goursat.
Aula 11   Definição de função holomorfa (ou analítica). Exemplos de funções analíticas. Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da soma, diferença, produto, quociente e composta. Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Analiticidade do logaritmo. Funções harmónicas e harmónicas conjugadas.
Aula 12   Conclusão da matéria anterior.
Semana 4 (5 a 9 de Outubro)
Aula 13   Exemplo de determinação de funções harmónicas conjugadas. Definição de caminho e de curva seccionalmente regular. Curva de Jordan. Teorema da curva de Jordan.
Aula 14   Definição do integral complexo. Propriedades elementares do integral: linearidade, aditividade, simetria. Estimação de integrais. Invariância por reparametrização.
Aula 15   Teorema de Cauchy. Independência do caminho de integração e existência de primitivas em conjuntos conexos. Teorema fundamental do cálculo para funções holomorfas. Teorema de Cauchy generalizado (para regiões multiplamente conexas).
Aula 16   Fórmula integral de Cauchy e fórmula integral de Cauchy generalizada. As funções analíticas são indefinidamente diferenciáveis. Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra.
Semana 5 (12 a 16 de Outubro)
Aula 17   Sucessões e séries de funções. Convergência uniforme de sucessões e séries de funções. Teste-M de Weierstrass. Limite uniforme da soma de séries de funções contínuas e da soma de séries de funções analíticas. Analiticidade da soma de uma série de potências no seu disco de convergência. Série de Taylor. Teorema de Taylor. Séries de Taylor de algumas funções elementares.
Aula 18   Demonstração do Teorema de Taylor. Séries de Laurent. Teorema de Laurent. Exemplos.
Aula 19   Singularidades. Singularidades isoladas. Classificação das singularidades isoladas: singularidades removíveis, polos e singularidades essenciais.
Aula 20   Teorema dos resíduos. Cálculo do resíduo para singularidades não essenciais. Séries de Taylor e o cálculo de limites. Exemplos: regra de Cauchy para indeterminações 0/0.
Semana 6 (19 a 23 de Outubro)
Aula 21   Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais trigonométricos. Integrais impróprios (reais) de tipo I e tipo II.
Aula 22   Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios.
Aula 23   Cálculo de integrais impróprios (continuação). Lema de Jordan.
Aula 24   Cálculo de integrais impróprios (exemplos).
Semana 7 (26 a 30 de Outubro)
Aula 25   Conclusão da matéria de Análise Complexa.
Aula 26   Conclusão da matéria de Análise Complexa.
Aula 27   Revisões.
Aula 28   Revisões.
31/10/2015 (Sábado)   1º Teste
Semana 8 (2 a 6 de Novembro)
Aula 29   Equações diferenciais. Classificação das equações diferenciais: equações ordinárias e parciais, escalares e vectoriais. Ordem e solução de uma equação diferencial ordinária e problema de valor inicial (ou de Cauchy).
Aula 30   Equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo e caso geral. Exemplo.
Aula 31   Equações separáveis. Intervalo máximo de solução; soluções que explodem em tempo finito. Alguns exemplos. Exemplos de equações separáveis (conclusão). Equações exactas. Exemplos.
Aula 32   Equações redutíveis a exactas. Exemplos.
Semana 9 (9 a 13 de Novembro)
Aula 33   Problema de existência e unicidade de solução para um problema de Cauchy de uma equação diferencial ordinária. Funções lipshitzianas e localmente lipshitzianas. Exemplos. Teorema de Picard. Problema integral equivalente ao problema de Cauchy. Iteradas de Picard. Unicidade de solução.
Aula 34   Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição. Comparação de soluções. Exemplo.
Aula 35   Equações vectoriais lineares de 1ª ordem. Funções matriciais. Equação homogénea e matriz solução fundamental. Soluções da equação homogénea.
Aula 36   Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Equações vectoriais lineares de coeficientes constantes. Caso homogéneo.
Semana 10 (16 a 20 de Novembro)
Aula 37   Soluções da equação homogénea e vectores próprios de A. Soluções reais. Definição da exponencial de uma matriz. Série da exponencial de uma matriz. Algumas propriedades de exp(At). Solução geral da equação homogénea e solução do problema de valor inicial correspondente.
Aula 38   Cálculo de exp(At). Casos especiais: A diagonal; A diagonalizável. Forma canónica de Jordan de uma matriz.
Aula 39   Cálculo de exp(At) no caso geral. Exemplo.
Aula 40   Cálculo de exp(At) no caso geral (conclusão). Resolução da equação não homogénea através da fórmula de variação das constantes. Exemplo.
Semana 11 (23 a 27 de Novembro)
Aula 41   Equações escalares lineares de ordem n. Caso n=2: solução do sistema de 2 equações de 1ª ordem equivalente, matriz companheira, matriz wronskiana, solução de um PVI para a equação homogénea. Exemplo: oscilações amortecidas livres.
Aula 42   Equação linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1 equivalente. Matriz companheira. Caso homogéneo. Matriz wronskiana. Equação de ordem n de coeficientes constantes. Polinómio característico, solução geral da equação homogénea e exemplo.
Aula 43   Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados; polinómio aniquilador. Exemplos.
Aula 44   Exemplos de aplicação da fórmula de variação das constantes. Métodos de redução de ordem e exemplos. Definição da transformada de Laplace.
Semana 12 (30 de Novembro a 4 de Dezembro)
Aula 45   Propriedades elementares da transformada de Laplace. Transformada de Laplace de algumas funções.
Aula 46   Aplicações da transformada de Laplace à resolução de problemas de valor inicial para as equações diferenciais ordinárias escalares de ordem n. Distribuição Delta de Dirac. Aplicação da transformada de Lapace à resolução de equações de ordem n envolvendo a delta de Dirac.
Aula 47   Exemplos. Teorema de inversão da transformada de Laplace. Equações diferenciais parciais. Equações do calor, de Laplace e das ondas.
Aula 48   Método de separação de variáveis para a equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas.
Semana 13 (7 a 11 de Dezembro)
Aula 49   Série de Fourier: definição e exemplos. Convergência em média quadrática das séries de Fourier. Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos.
08/12/2015, 3ª feira     Feriado.
Aula 50   Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.
Aula 51   Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis. Solução de d'Alembert da equação das ondas.
Semana 14 (14 a 18 de Dezembro)
Aula 52   Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis.
Aula 53   Exemplos e resolução de exercícios.
Aula 54   Exemplos e resolução de exercícios.
Aula 55   Exemplos e resolução de exercícios.
19/12/2015 (Sábado)   2º Teste
25/01/2016 (2ª Feira)   Testes de Recuperação