Análise Complexa e Equações Diferenciais — 2º Semestre de 2013/2014
Engª Informática e de Computadores




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Planeamento das Aulas Teóricas

Semana 1 (17 a 21 de Fevereiro)
Aula 1   Apresentação. Funcionamento da disciplina. Corpo dos números complexos; representação geométrica. Números complexos na forma polar. Fórmula de Euler.
Aula 2   Produto e quociente de números complexos na forma polar. Fórmula de Moivre. Raiz índice n de um número complexo. Sucessões de termos complexos. Limites de sucessões de termos complexos.
Aula 3   Propriedades dos limites de sucessões complexas. Séries numéricas: reais ou complexas. Sucessão das somas parciais de uma série. Convergência; natureza de uma série. Série geométrica.
Aula 4   Condição necessária para a convergência de uma série. Soma de séries convergentes; produto de uma série convergente por um escalar. Séries de Mengoli. Critério de Cauchy. Série harmónica.

Semana 2 (24 a 28 de Fevereiro)
Aula 5   Convergência absoluta. Séries de termos reais não negativos. Critério geral de comparação e corolários. Critério de D'Alembert e critério da raiz.
Aula 6   Série de Dirichlet. Séries de termos sem sinal fixo. Critério de Leibniz. Séries de potências. Exemplos.
Aula 7   Teorema de Abel. Raio de convergência e região (ou domínio) de convergência de uma série de potências. Funções complexas elementares. Exponencial complexa.
Aula 8   Funções complexas de variável complexa: definições e notação. Funções polinomiais, funções racionais. Funções trigonométricas. Funções hiperbólicas. Logaritmo complexo. Ramos da função logaritmo e valor principal. Potência de expoente complexo; ramos da função potência e valor principal.

Semana 3 (3 a 7 de Março)
2ª e 3ª feira (03/02 — 04/02):  Férias de Carnaval
Aula 9   Limites e continuidade de funções complexas de variável complexa. Exemplos; continuidade dos ramos do logaritmo.
Aula 10   Definição da derivada de uma função complexa de variável complexa. Condição necessária para a existência de derivada: equações de Cauchy-Riemann. Relação entre derivada (complexa) e derivada no sentido dos campos de R² para R². Condição necessária e suficiente de existência de derivada complexa; teorema de Cauchy-Riemann-Goursat.

Semana 4 (10 a 14 de Março)
Aula 11   Definição de função analítica (ou holomorfa). Exemplos de funções analíticas. Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da soma, diferença, produto, quociente e composta. Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. Analiticidade do logaritmo. Funções harmónicas e harmónicas conjugadas.
Aula 12   Exemplo de determinação de funções harmónicas conjugadas. Definição de caminho e de curva seccionalmente regular. Curva de Jordan. Teorema da curva de Jordan.
Aula 13   Definição do integral complexo. Propriedades elementares do integral: linearidade, aditividade, simetria. Estimação de integrais. Invariância por reparametrização.
Aula 14   Teorema de Cauchy. Independência do caminho de integração e existência de primitivas em conjuntos conexos. Teorema fundamental do cálculo para funções holomorfas. Teorema de Cauchy generalizado (para regiões multiplamente conexas).

Semana 5 (17 a 21 de Março)
Aula 15   Fórmula integral de Cauchy e fórmula integral de Cauchy generalizada. As funções analíticas são indefinidamente diferenciáveis. Teorema de Morera. Teorema de Liouville. Teorema Fundamental da Álgebra.
Aula 16   Sucessões e séries de funções. Exemplos. Analiticidade da soma de uma série de potências no seu disco de convergência. Série de Taylor. Teorema de Taylor. Séries de Taylor de algumas funções elementares.
Aula 17   Demonstração do Teorema de Taylor. Séries de Laurent. Teorema de Laurent. Exemplos.
Aula 18   Singularidades. Singularidades isoladas. Classificação das singularidades isoladas: singularidades removíveis, polos e singularidades essenciais.

Semana 6 (24 a 28 de Março)
Aula 19   Teorema dos resíduos. Cálculo do resíduo para singularidades não essenciais. Séries de Taylor e o cálculo de limites. Exemplos: regra de Cauchy para indeterminações 0/0.
Aula 20   Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais trigonométricos. Integrais impróprios (reais) de tipo I e tipo II.
Aula 21   Aplicações do teorema dos resíduos ao cálculo de integrais impróprios.
Aula 22   Cálculo de integrais impróprios (continuação). Lema de Jordan. Exemplos.

Semana 7 (30 de Março a 4 de Abril)
Aula 23   Exemplos de cálculo de integrais impróprios.
Aula 24   Exemplos e resolução de exercícios.
Aula 25   Exemplos e resolução de exercícios.
Aula 26   Exemplos e resolução de exercícios.
05/04/2014 (Sábado)   1º Teste

Semana 8 (7 a 11 de Abril)
Aula 27   Equações diferenciais. Classificação das equações diferenciais: equações ordinárias e parciais, escalares e vectoriais. Ordem e solução de uma equação diferencial ordinária e problema de valor inicial (ou de Cauchy).
Aula 28   Equações escalares de 1ª ordem. Equações lineares: caso homogéneo e caso geral. Exemplo.
Aula 29   Equações separáveis. Intervalo máximo de solução; soluções que explodem em tempo finito. Alguns exemplos. Exemplos de equações separáveis (conclusão).
Aula 30   Equações exactas. Exemplos. Equações redutíveis a exactas. Exemplos.

Semanas 9 e 10 (14 a 25 de Abril)
Aula 31   Problema de existência e unicidade de solução para um problema de Cauchy de uma equação diferencial ordinária. Referência a funções lipshitzianas e localmente lipshitzianas. Teorema de Picard. Exemplos.
Aula 32   Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição. Comparação de soluções. Exemplo.
4ª a 3ª feira (16/04 — 22/04):  Férias da Páscoa
Aula 33   Equações vectoriais lineares de 1ª ordem. Funções matriciais. Equação homogénea e matriz solução fundamental. Soluções da equação homogénea.
25/04 (6ª feira)   Feriado


Semana 11 (28 de Abril a 2 de Maio)
Aula 34   Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Equações vectoriais lineares de coeficientes constantes. Caso homogéneo.
Aula 35   Soluções da equação homogénea e vectores próprios de A. Soluções reais. Definição da exponencial de uma matriz. Série da exponencial de uma matriz. Algumas propriedades de exp(At). Solução geral da equação homogénea e solução do problema de valor inicial correspondente.
01/05 (5ª feira)   Feriado
Aula 36   Cálculo de exp(At). Casos especiais: A diagonal; A diagonalizável. Forma canónica de Jordan de uma matriz.

Semana 12 (5 a 9 de Maio)
Aula 37   Cálculo de exp(At) no caso geral. Exemplo.
Aula 38   Cálculo de exp(At) no caso geral (conclusão). Resolução da equação não homogénea através da fórmula de variação das constantes. Exemplo.
Aula 39   Equações escalares lineares de ordem n. Caso n=2: solução do sistema de 2 equações de 1ª ordem equivalente, matriz companheira, matriz wronskiana, solução de um PVI para a equação homogénea. Exemplo: oscilações amortecidas livres.
Aula 40   Equação linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1 equivalente. Matriz companheira. Caso homogéneo. Matriz wronskiana. Equação de ordem n de coeficientes constantes. Polinómio característico, solução geral da equação homogénea e exemplo.

Semana 13 (12 a 16 de Maio)
Aula 41   Equação não homogénea. Fórmula de variação das constantes. Método dos coeficientes indeterminados; polinómio aniquilador. Exemplos.
Aula 42   Exemplos de aplicação da fórmula de variação das constantes. Métodos de redução de ordem e exemplos. Definição da transformada de Laplace.
Aula 43   Propriedades elementares da transformada de Laplace. Transformada de Laplace de algumas funções.
Aula 44   Aplicações da transformada de Laplace à resolução de problemas de valor inicial para as equações diferenciais ordinárias escalares de ordem n. Distribuição Delta de Dirac. Aplicação da transformada de Lapace à resolução de equações de ordem n envolvendo a delta de Dirac.

Semana 14 (19 a 23 de Maio)
Aula 45   Equações diferenciais parciais. Equações do calor, de Laplace e das ondas. Método de separação de variáveis para a equação do calor com condições de Dirichlet homogéneas.
Aula 46   Série de Fourier: definição e exemplos.
Aula 47   Convergência pontual das séries de Fourier. Séries de senos e séries de cosenos. Exemplos.
Aula 48   Resolução da equação do calor com condições de Dirichlet e de Neumann.

Semana 15 (26 a 30 de Maio)
Aula 49   Resolução da equação das ondas pelo método de separação de variáveis. Solução de d'Alembert da equação das ondas.
Aula 50   Resolução da equação de Laplace pelo método de separação de variáveis.
Aula 51   Exemplos e resolução de exercícios.
Aula 52   Exemplos e resolução de exercícios.
31/05/2014 (Sábado)   2º Teste

30/06/2014 (2ª feira)   Testes de Recuperação / Exame