Sumários das aulas
teóricas
LMAC, LEFT, LEBM, LEA (3ª feira,
VA3, 13-14h; 5ª
feira, VA4, 13-14h; 6ª feira, QA02.4, 12-13h)
Docente: João Teixeira
27/03/07 Apresentação. Corpo dos números complexos;
representação
geométrica. Números complexos na forma
polar. Produto e
quociente de
números complexos na forma polar. Formula de Moivre. Fórmula de Euler. Algumas
funções complexas de variável complexa
elementares: funções polinomiais, funções
racionais. Exemplo elementar de uma função multivalente:
raiz índice n de um número complexo.
01/03/07 Exponencial Complexa. Funções
hiperbólicas. Funções
trigonométricas. Logaritmo complexo.
Ramos da função
logaritmo e valor principal. Ramos da função
potência e valor principal.
02/03/07
Noções topológicas elementares em C: conjuntos
abertos e fechados, pontos de acumulação e pontos
aderentes. Funções complexas de variável complexa.
Definição de limite e propriedades: álgebra de
limites.
06/03/07
Continuidade. Sucessões complexas. Limite de sucessões.
08/03/07 Teorema de Bolzano-Weierstrass. Critério de
Cauchy e completude do corpo C. Continuidade uniforme. Teorema de
Cantor.
09/03/07 (Aula
substituida em 23/03/07)
13/03/07
Definição da derivada de uma
função complexa de variável complexa.
Relação entre derivada (complexa) e derivada no sentido
dos campos de R² para R²: teorema de Cauchy-Riemann.
15/03/07 Definição de função
holomorfa. Propriedades elementares da derivada complexa: derivada da
soma, diferença, produto, quociente e composta;
funções de derivada nula definidas num conjunto conexo
são constantes.
16/03/07 Definição de caminho e de curva
seccionalmente regular. Definição de integral de uma
função contínua ao longo de um caminho.
Propriedades elementares do integral: linearidade, aditividade,
simetria. Estimação de integrais. Invariância por
reparametrização. Teorema fundamental do cálculo
(para funções holomorfas) e corolários.
20/03/07 Teorema de Cauchy
em triângulos (Goursat). Existência de primitivas em
conjuntos convexos. Teorema de Cauchy
em conjuntos convexos.
22/03/07 (Aula a substituir
em 29/03/07)
23/03/07 (Aula de
substituição, 8h, Q4.2, etc) Índice de um
caminho fechado. Funções holomorfas definidas por
integrais complexos. Propriedades do índice. Fórmulas
integrais de Cauchy e consequências: as funções
holomorfas são indefinidamente diferenciáveis e têm
derivadas (complexas) holomorfas de qualquer ordem n.
23/03/07 Teorema de Cauchy em conjuntos abertos. Teorema de
Cauchy em regiões multiplamente conexas. Teorema de Liouville.
Teorema Fundamental da Álgebra. Teorema de Morera.
27/03/07 Séries
complexas. Critério de Cauchy para séries.
Convergência absoluta. Séries de funções.
Convergência pontual
e uniforme de sucessões e séries de
funções. Critério de Cauchy para
convergência uniforme. Teste-M de Weierstrass.
Continuidade do limite e do integral do limite de sucessões e da
soma de séries de funções contínuas.
29/03/07 Convergência de sucessões e séries
de funções holomorfas. Séries de
potências. Série geométrica. Raio de
convergência. A soma de uma série de potências
é holomorfa no disco de convergência. Série de
Taylor de uma
função holomorfa.
29/03/07 (Aula de
substituição, 19h, C01) Teorema de Taylor.
Equivalência das noções de função
holomorfa e função
analítica num conjunto aberto. Séries de Taylor de
algumas funções elementares. Séries de Laurent.
Teorema de Laurent.
30/03/07 Singularidades isoladas. Classificação das
singularidades isoladas: singularidades removíveis, polos e
singularidades essenciais. Teorema dos resíduos. Cálculo
dos resíduos de singularidades não essenciais.
Séries de Taylor e
o cálculo de limites (Exemplo: regra de Cauchy para
indeterminações 0/0).
03/04/07 Séries de
Taylor e o cálculo de limites (Exemplo: cálculo do
resíduo de um polo simples). Resíduo no infinito.
Funções meromorfas. A soma dos resíduos de uma
função meromorfa é nula. Aplicações
do teorema dos resíduos ao cálculo
de integrais reais. Integrais trigonométricos.
Integração complexa no sentido do valor principal (de
Cauchy). Cálculo de integrais impróprios reais por
aplicação do teorema dos resíduos.
05/04/07 Férias de
Páscoa.
06/04/07 Férias de
Páscoa.
10/04/07 Férias de Páscoa.
12/04/07 Cálculo de integrais impróprios reais por
aplicação do teorema dos resíduos. Lema de Jordan.
Exemplos.
13/04/07 Cálculo de integrais impróprios
(exemplos). Funções harmónicas e harmónicas
conjugadas.
17/04/07
Transformações conformes: definição e
exemplos
19/04/07 Transformações de Möbius.
Referência ao movimento de um fluído potencial e à
transformação de Jukowski.
20/04/07 Revisões.
(21/04/07 1º Teste)
24/04/07
Equações diferenciais. Definições gerais:
ordem e solução de uma equação;
equações ordinárias e parciais, escalares e
vectoriais; problema de valor inicial (ou de Cauchy).
Equações de 1ª ordem escalares.
Equações lineares: caso homogéneo e caso geral.
Exemplo.
26/04/07 Equações separáveis. Intervalo
máximo de solução; soluções que
explodem em tempo finito. Alguns exemplos.
27/04/07 Exemplos de equações separáveis
(conclusão). Equações exactas. Exemplo.
01/05/07 Feriado
03/05/07 Equações redutíveis a exactas.
Exemplos.
04/05/07 Equações vectoriais de 1ª ordem:
questão de existência e unicidade de
solução. Espaços métricos; sucessões
de
Cauchy em espaços métricos e completude. Exemplos:
espaços normados, espaços de Banach. C[a,b] é um
espaço de
Banach.
08/05/07 Teorema da
contracção (ou do ponto fixo de Banach).
Condição de Lipshitz. Funções localmente
lipshitzianas (relativamente a y). Teorema de Picard-Lindelöf.
10/05/07 Prolongamento de soluções a intervalos
máximos de definição.
Desigualdade de Gronwall. Comparação de
soluções. Dependência contínua
das condições iniciais.
11/05/07 Equações lineares de 1ª ordem
(vectoriais) . Equação homogénea. O
espaço de Banach das matrizes nxn. Convergência de
sucessões e séries.
Exponencial de uma matriz; definição e algumas
propriedades. Solução
geral da equação homogénea e solução
do problema de valor inicial
correspondente.
15/05/07
Soluções da equação homogénea e
vectores próprios de A. Soluções reais.
Cálculo de exp(At). Casos especiais: A diagonal; A
diagonalizável.
Caso geral: A equivalente a uma matriz de Jordan (a forma
canónica de
Jordan de A).
17/05/07 Exemplos de cálculo de exp(At).
Equação não homogénea. Fórmula de
variação das constantes.
18/05/07 Matriz solução fundamental de uma
equação vectorial linear homogénea. Fórmula
de variação das constantes para uma equação
vectorial linear geral. Equações escalares lineares de
ordem n: caso n=2; sistema de 2 equações de 1ª ordem
equivalente, matriz cmpanheira, matriz wronskiana,
solução de um PVI para a equação
homogénea. Exemplo: oscilações amortecidas livres.
22/05/07 Exemplo:
oscilações amortecidas livres. Equação
linear de ordem n e equação vectorial de ordem 1
equivalente.
Matriz companheira. Caso homogéneo. Matriz wronskiana.
24/05/07 Equação de ordem n de coeficientes constantes.
Polinómio característico, solução geral da
equação homogénea e exemplo. Equação
não homogénea. Fórmula de variação
das constantes. Método dos coeficientes indeterminados;
polinómio aniquilador.
25/05/07 Exemplos de aplicação do método dos
coeficientes inderminados. Métodos de redução de
ordem e exemplos. Equações diferenciais parciais.
Equações do calor, de Laplace e das ondas. Problema de
valor valor inicial e de fronteira (com condições de
Dirichlet homogéneas) para a equação do calor.
29/05/07 Método de
separação de variáveis para a
equação do calor com condições de Dirichlet
homogéneas. Série de Fourier: definição.
31/05/07 O espaço das funções de quadrado
integrável, L²(I). Produto interno e norma em L²(I).
L²(I), com a sua norma, é completo (um espaço de
Hilbert). Conjuntos ortonormais e ortornormais completos. Desigualdade
de Bessel.
01/06/07
05/06/07
07/06/07
08/06/07