Álgebra Linear A

LCI, LEBM e LEFT - Outono 2003

Parte I Equações e Transformações Lineares

(30/Set) Sistemas de equações lineares e método de eliminação de Gauss. Sistemas determinados, impossíveis e indeterminados.

(2/Out) Vectores e matrizes. Propriedades algébricas das operações de matrizes.

(3/Out) Propriedades algébricas das operações de matrizes (conclusão). Matriz inversa e inversão de matrizes quadradas.

(7/Out) Transformações lineares - definição, representação matricial e exemplos.

(9/Out) Núcleo e imagem duma transformação linear.

(10/Out) Composição e inversão de transformações lineares. Exemplos.

(14/Out) Subespaços vectoriais de Rⁿ, combinação linear, independência linear, bases.

(16/Out) Propriedades das bases. Característica e nulidade de uma matriz.

(17/Out) Coordenadas e mudança de bases. Espaços vectoriais.

(21/Out) Revisão de números complexos: operações, nomenclatura, coordenadas polares.

(23/Out) Bases, coordenadas, dimensão finita e infinita. Transformações lineares: representação matricial e mudança de bases. TESTE 1 às 16h

(23/Out) Núcleo e imagem duma transformação linear. Exemplos.

Parte III Produto Interno e Determinante

(28/Out) Produto interno. Norma, ângulo entre vectores, projecção ortogonal. Bases ortonormais.

(30/Out) Complemento ortogonal e projecção ortogonal. Ortogonalização de Gram-Schmidt.

(31/Out) Ortogonalização de Gram-Schmidt (conclusão). Decomposição ortogonal, soma directa. Exemplos.

(4/Nov) TESTE 2

(6/Nov) Transformações ortogonais. Matrizes ortogonais, transpostas e simétricas.

(7/Nov) Determinantes: definição e propriedades.

(11/Nov) Cálculo de determinantes. Menores e fórmula de Laplace. Regra de Cramer.

(13/Nov) Aplicação da regra de Cramer ao cálculo de matrizes inversas, matriz dos cofactores. Determinante como área ou volume.

(14/Nov) Valores próprios e vectores próprios, polinómio característico, multiplicidade algébrica, traço de uma matriz.

Parte IV Diagonalização

(18/Nov) Espaços próprios, subespaços invariantes, exemplos. Multiplicidade algébrica e multiplicidade geométrica.

(20/Nov) Matrizes diagonalizáveis. Bases próprias. Independência linear de vectores próprios associados a valores próprios diferentes.

(21/Nov) Diagonalização. Exemplos. Teorema fundamental da Álgebra. Valores próprios complexos.

(25/Nov) TESTE 3

(27/Nov) Valores e vectores próprios complexos. Diagonalização em Cⁿ.

(28/Nov) Bloco de Jordan, forma canónica de Jordan, decomposição de Jordan, vector próprio generalizado.

Parte V Aplicações e Complementos

(2/Dez) Formas canónicas de Jordan para matrizes 3x3: casos com um e com três blocos de Jordan. Exercícios.

(4/Dez) Formas canónicas de Jordan para matrizes 3x3: caso com dois blocos de Jordan. Exercícios.

(5/Dez) Aplicação da forma canónica de Jordan à resolução de sistemas de equações diferenciais. Exponencial de matrizes.

(9/Dez) TESTE 4

(11/Dez) Diagonalização ortogonal. Teorema espectral (uma matriz é ortogonalmente diagonalizável sse é simétrica).

(12/Dez) Matrizes hermiteanas, anti-hermiteanas e unitárias, matrizes normais. Diagonalização ortogonal.

(16/Dez) Formas quadráticas. Matrizes (semi-)definidas positivas/negativas ou indefinidas.

(18/Dez)

(19/Dez)

Última actualização: 16 de Dezembro de 2003