Responsável:
Joana Ventura AVISOS
Teoria elementar de grupos: subgrupos, subgrupos normais; isomorfismos. Grupos quociente, isomorfismos canónicos. Acções de grupos; teoremas de Sylow.
Teoria elementar de anéis: subanéis, ideais e anéis quociente. Anéis de polinómios, fracções, domínios de factorização única, domínios de ideais principais, domínios euclidianos.
Teoria elementar de módulos: módulos finitamente gerados e módulos livres. Produto tensorial. Sucessões exactas, Hom e dualidade. Módulos sobre domínios integrais e sobre domínios de ideais principais. Aplicações: classificação de grupos abelianos finitamente gerados, forma canónica de Jordan.
Notas do prof. Pedro F. Santos
(com exemplos e observações adicionais que vão sendo discutidos nas aulas deste semestre)
Os seguintes exercícios são do livro Algebra de T.W. Hungerford mencionado na bibliografia.
TPC 1 para entregar na aula do dia 2 de Outubro (2ª aula da 3ª semana): dez exercícios da lista 1, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.
TPC 2 para entregar na aula do dia 16 de Outubro: dez exercícios da lista 2, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.
TPC 3 para entregar na aula do dia 23 de Outubro: cinco exercícios da lista 3, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.
TPC 4 para entregar na aula do dia 30 de Outubro: cinco exercícios da lista 4, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.
TPC 5 para entregar na aula do dia 6 de Novembro: cinco exercícios da lista 5, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.
TPC 6 para entregar na aula do dia 13 de Novembro: cinco exercícios da lista 6, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.
TPC 7 para entregar na aula do dia 27 de Novembro: cinco exercícios da lista 7.
TPC 8 para entregar na aula do dia 4 de Dezembro: cinco exercícios da lista 8, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.
TPC 9 para entregar na aula do dia 11 de Dezembro: cinco exercícios da lista 9.
TPC 10 para entregar na aula do dia 18 de Dezembro: cinco exercícios da lista 10, com pelo menos um exercício resolvido de cada secção.
Não há TPC 11 para entregar.
Horário de dúvidas: 3ªf das 13h00 às 15h00, no meu gabinete (no piso 3 do pavilhão de matemática). Os alunos podem também contactarem-me para esclarecimento de dúvidas fora deste horário.
Os últimos TPC já estão corrigidos, os alunos podem vir buscá-los ao meu gabinete.
Relembro que as aulas de dúvidas continuam em funcionamento durante a época de exames.
Atenção: numa primeira versão da lista 8, afixada hoje antes da aula, aparecia o exercício IV.3.1. Uma vez que o resultado para módulos injectivos foi enunciado na aula de hoje (embora não demonstrado), e que é válido usar nos TPC qualquer resultado das notas ou das aulas, esse exercício foi retirado da lista.
Consequência: para resolver o exercício IV.3.3 não vale recorrer ao dito exercício IV.3.1 e, única excepção na regra de "o que se pode usar sem demonstrar nos TPC", também não vale usar o dual do Teorema 4.4.11 (i) sse (ii) para módulos injectivos, a não ser que inclua a demonstração na sua resolução. Ou seja, no exercício IV.3.3, em vez de usar os resultados gerais, considere apenas o caso dos anéis de divisão, que é muito mais fácil.
O tipo de perguntas para os testes/exame deste semestre será análogo ao dos problemas das listas de exercícios, dos exemplos feitos (ou exercícios passados) nas aulas e nas notas.
Dois testes, com duração de 1 hora e meia cada, ou exame final, com duração de 3 horas. Na data de exame, os alunos podem optar por melhorar qualquer um dos testes. Caso o aluno realize o exame, a sua nota da prova escrita é a melhor nota entre a média dos testes e o exame. As notas dos testes não são arredondadas, a média dos testes e a nota do exame são números inteiros entre 0 e 20.
Haverá também trabalhos de casa marcados ao longo do semestre, com um peso de 20% apenas para melhorar a nota da prova escrita.
Datas das provas escritas
1º Teste: 18 de Novembro de 2013
2º Teste: 9 de Janeiro de 2014
Exame: 30 de Janeiro de 2014
Secção I.1: 8, 10, 13, 14;
Secção I.2: 2, 3, 8, 16;
Secção I.3: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10;
Secção I.4: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14;
Secção I.5: 1, 2, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 21.
Secção I.6: 2, 3, 5, 10;
Secção II.4: 2, 3, 5, 8, 9, 10, 13, 14;
Secção II.5: 1, 2, 3, 5, 9, 13;
Secção II.7: 2, 6, 7, 9;
Secção II.8: 2, 5, 7, 9.
Secção III.1: 5, 9, 11, 12, 14;
Secção III.2: 1, 2, 7(a), 8, 9, 13, 16, 17, 21, 22(a).
Secção III.3: 3, 6, 7, 9, 12 e exercício extra 1;
Secção III.4: 1, 4 e exercício extra 2.
Atenção:
No exercício III.4.1 "complete ring of quotients" quer dizer S-1A onde S é o conjunto dos elementos não nulos de A que não são divisores de zero.
No exercício III.4.4, considere S={1,2,4}.
Secção III.4: exercício extra, 6, 11, 12, 13 e 16;
Secção III.5: 2, 5, 6, 7, 8, 10.
Secção III.6: 1, 7, 10, 14, 15;
Secção I.7: 1, 2, 5, 6.
Secção IV.1: 2, 4, 5, 7, 9, 12, 13.
Secção IV.2: 4, 5, 6, 10, 13, 14;
Secção IV.3: 3, 4, 5, 8 e dois exercícios extra.
Atenção:
Exercício IV.3.8: Um grupo abeliano G é
Exercício extra 2: Não é preciso entregar uma demonstração das afirmações feitas nas obervações da segunda página.
Secção IV.5: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9.
Atenção:
Em todos os exercícios desta lista: mesmo não sendo dito no enunciado, assumir sempre que o anel R é comutativo e que os módulos são módulos à esquerda. Portanto, os produtos tensoriais são módulos-R (e não apenas grupos abelianos) e as afirmações que se pedem para mostrar referem-se sempre a módulos-R (e não apenas a grupos abelianos).
Exercício IV.5.3: G é um grupo abeliano de torção ("torsion abelian group") se G=Torc(G), ou seja, se todos os elementos em G têm ordem finita. (Comprar com a nota ao Exercício IV.3.8 da Lista 8.)
Secção IV.6: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e dois exercícios extra;
Secção II.2: 9, 12, 13, 14.
Última actualização: 5 de Fevereiro de 2013
Departamento de Matemática,
Instituto Superior Técnico