Porém, os vários aspectos "imaginários" dos números são ficções muito úteis. As regras de cálculo com números perfeitos são muito mais simples do que com medições reais e erros associados. Esta simplicidade torna as ideias fundamentais muito mais claras. [...]

Os números complexos extendem os axiomas de corpo para além dos números reais, adicionando um númeroi como sendo uma solução da equaçãox² =-1 . Há algumas centenas de anos, este número era controverso e ainda hoje é designado de "imaginário". De facto, todos os números são construções úteis da nossa imaginação Certos aspectos dos números reais de Dedekind são ainda muito mais abstractos do que i² = -1. (Por exemplo, como os reais não são contáveis, a "maior parte" dos reais não possuem qualquer tipo de descrição).[...]

Os números complexos não podem ser ordenados com uma noção de "menor que" que seja compatível com as operações de corpo. Adicionando um número "ideal" que serve de raiz quadrada de -1 não é compatível com a propriedade de que o quadrado de qualquer número é positivo. Quando fazemos extensões ao conjunto dos números reais torna-se necessário optar pelo tipo de extensão a fazer, o que depende das propriedades que se quer preservar.

    Programa:

Bibliografia:

1. G. Smirnov, Análise Complexa e Aplicações, Escolar Editora
   
2. M. Carreira e M. Nápoles, Variável Complexa: Teoria Elementar Exercícios Resolvidos, McGraw Hill
   
3. Gabriel Pires,  Notas de Análise Complexa,  disponível na internet (Carregue aqui)
   
4. Luis T. Magalhães, Teoria Elementar de Equações Diferenciais, Secção de Folhas da AEIST.
5. Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th edition, Texts in Applied Mathematics, vol. 11, Springer-Verlag, New York, 1993

Outros textos relevantes:

1. Coimbra de Matos e José Carlos Santos, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora, 2000.
2. F. Pestana da Costa, Teoria Elementar de Equações Diferenciais Ordinárias, IST Press, 1998
3. William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley 1997.

Resumo da matéria:   .pdf   Exemplos (EDP's):  .pdf

Com os problemas propostos, resolvidos e suplementares , pretende-se encorajar os alunos a acompanhar a matéria ao longo do semestre de uma forma não passiva. Eles inserem-se no esquema de avaliação contínua em vigor nesta disciplina. Os problemas propostos para cada semana ilustram os diversos tópicos que irão ser focados nesta disciplina, constituindo um guia muito valioso para um estudo efectivo dos mesmos.
Não há, regra geral, benefício sustentável que não exija algum empenho, e por isso se recomenda vivamente aos alunos um investimento de tempo fora das aulas na ordem das duas a quatro horas semanais. Isto significa, em particular, que é errado admitir que o trabalho desenvolvido nas aulas práticas é suficiente para obter os benefícios desejados ao nível de uma adequada compreensão da matéria e, consequentemente, ao nível daquele sucesso nas provas de avaliação que todos desejamos.
Para que tal sucesso se materialize, exige-se o trabalho sério, individual ou em grupo, dos estudantes fora das aulas, num total de duas a quatro horas semanais. A experiência mostra que os estudantes retiram um máximo de benefícios se comparecerem na aula prática depois de terem trabalhado seriamente em todos os problemas propostos para essa semana, tentando resolver por escritouma boa parte deles.
 
 

Testes e Exames de Análise IV: