Análise Matemática III - 2º Semestre 2005/2006

Curso: LEEC

Michael Paluch

Email: mike@math.ist.utl.pt

Gabinete: 4.11 do Pavilhão de Matemática (piso 4), extensão 1127 (tel. 218 417 127)

Aulas teóricas:

• Terça-feira 12h na sala QA02.4
• Quinta-feira 12h na sala GA1
• Sexta-feira 12 na sala GA1

Aula prática:

• Quinta-feira 15h-17h na sala V107
• Sexta-feira 9h-11h na sala V126

Horário de dúvidas:

Terça-feira 10h-12h

Sexta-feira 13h-14:30h

Os alunos podem consultar os horários de dúvidas de todos os docentes da cadeira. Estes serão afixados na página e na vitrina da cadeira no fim da primeira semana de aulas.

As aulas de dúvidas realizam-se na sala 1.12 do Edifício de Pós-Graduação. Após a primeira meia-hora de cada período de atendimento de dúvidas, essa sessão pode ser terminada se não houver solicitação por alunos.

Vitrina da cadeira:

Frente ao bar no rés-do-chão do Pavilhão Central

Programa

Integrais Múltiplos

1. Rectângulos, integral de Riemann, critério de integrabilidade

2. Teorema de Fubini

3. Transformação de coordenadas de integração

4. Aplicações: cálculo de volumes, centróides, masses, cargas eléctricas, centros de massa, momentos de inércia, etc.

Curvas e Integrais de Linha

5. Curvas e caminhos, Integral de linha de um campo escalar, Integral de linha de um campo vectorial

6. Conjuntos conexos por arcos, teorema fundamental do cálculo para integrais de linha, campos gradientes, campos fechados e potenciais

7. Homotopia, integrais sobre caminhos homotópicos

Variedades em Rⁿ

8. Teoremas de função inversa e de função implícita

9. Variedades, gráficos e conjuntos de nível, espaços tangente e normal

10. Extremos condicionados, método dos multiplicadores de Lagrange

Integração em Variedades

11. Orientação e integração

12. Fluxos de campos vectorais, teorema de divergência e a lei de Gauss

13. Teorema de Stokes e aplicações: equações de Maxwell, leis de Ampère, de Faraday e de conservação de energia

Complementos de Cálculo Integral

14. Teoremas de convergência monótona de Levi e de convergência dominada de Lebesgue

Bibliografia

• M Spivak, Calculus on Manifolds, Benjamin (1965)
• L. T. Magalhães, Integrais Múltiplos, Texto Editora, 1993.
• L. T. Magalhães, Integrais em Variedades e Aplicações, Texto Editora, 1993.

Avaliação

Esta disciplina não tem exame final.

Provas Escritas

Realizar-se-ão dois testes com a duração de 90 minutos. O primeiro teste será no Sábado, dia 29 de Abril de 2006, e avaliará a primeira metade da matéria. O segundo teste será na Sábado, dia 3 de Junho de 2006, e avaliará a segundo metade matéria. Haverá um teste de recuperação no Segunda-feira, dia 12 de Junho de 2006, oferecendo a qualquer aluno a oportunidade de recuperar um e só um dos dois teste anteriores. A nota de cada teste será um inteiro de 0 a 20 valores, obtido por arredonamento, e a nota do teste de recuperação entregue prevalecerá sobre a nota obtida anteriormente no respectivo teste somente no caso de ser superior a esta.

Não haverá nota mínima em nenhum dos testes. Inscrições para os teste são obrigatórias. Os alunos só devem apresentra-se as provas escritas munido do cartão de alunos ou do bilhete de identidade.

A nota da provas escritas, que se designa por NE, será a média aritmética arredondada das notas dos dois testes, em que, eventualmente, um destes será o de recuperação.

Avaliação Contínua e Funcionamento da Aulas Práticas

Os alunos devem inscrever-se durante a primeira semana de aulas junto do docente das suas aulas práticas, preenchendo esta ficha (postscript pdf) e fornecendo uma fotografia (original ou uma boa fotocópia).

Será indicada semanalmente uma lista de exercícios que deverão ser resolvidos na aula prática e no estudo fora das aulas. As aulas práticas permitem:

1. (i) complementar e não substituir a exposição das aulas teóricas,
2. (ii) discutir dúvidas,
3. (iii) adiantar a resolução dos exercícios e
4. (iv) demonstrar a evolução dos conhecimentos para avaliação.

Durante aulas práticas os alunos trabalharão em grupos de 4, constituídos de acordo com as suas preferências. Os membros de cada grupo devem resolver os exercícios e discuti-los livremente entre si. Ao longo do semestre, o docente das aulas práticas deverá informar os alunos acerca do seu trabalho, aconselhando-os e encoranjando melhorias no seu estudo.

No início de cada aula prática, o docente poderá resolver um ou dois exercícios acerca da matéria da aula. Este período não deverá demorar mais de 15 minutos. Durante o resto da aula, o docente só deve utilizar o quadro para responder a dúvidas generalizadas dos alunos.

Exercícios-teste serão publicados semanalmente na página da disciplina e deverão ser entregues no início da aula prática da semana seguinte. Não serão aceites resoluções do exercicio-teste após a aula prática. Em cada semana, o docente das aulas práticas sorteará cerca de um terço dos alunos de cada turma para classificar, com um número inteiro entre 0 e 10 dos respectivos exercícios-teste. O docente tomará nota de quem entregou ou não a resolução do exercício-teste, bem como a classificação dos exercícios sorteados. Em pelo menos duas aulas práticas, escolhidas ao acaso pelo docente, os alunos terão que resolver na aula um exercício. Este exercício será corrigido para todos alunos e substituirá o exercício-teste dessa semana.

A nota de avaliação contínua, que se designa por NC, é um número inteiro de 1 a 3, atribuído pelo docente das aulas práticas com base nas notas obtidas em exercícios-teste, assim como no trabalho realizado pelo aluno nas aulas práticas, de acordo com a seguinte correspondência: 3 - Bom; 2 - Regular; 1 - Insuficiente.

Nota Final

A nota final da cadeira é um número inteiro de 0 a 20. Um aluno fica aprovado se a sua nota final for maior ou igual a 10. A nota final é calculada a partir da nota das provas escrita NE e da nota da avaliação contínua NC, de acordo com a seguite tabela:

Se a indicação na tabela anterior for ORAL, o aluno deverá apresentar-se a uma prova oral a combinar com o responsável da cadeira. Se decidir não o fazer, a sua nota final será de 17 valores. Se NE < 9 o aluno será reprovado.

Orais

Qualquer nota final superior a 17 tem que ser defendida numa prova oral a combinar com o responsável pela cadeira no final período das aulas; se não for defendida, uma tal nota passa a 17.

Melhoria de Nota

Para os alunos inscritos na secretaria para melhoria de nota, a nota final será igual a NE, podendo os alunos aceder também à prova de recuperação. Estes alunos terão acesso à avaliação contínua se assim o desejarem e se as condições o permitirem.