| Aulas teóricas |
Sumário |
| 26/09 |
Apresentação. Bibliografia, regras de avaliação. |
| 28/09 | Sistemas de equações lineares.
Interpretação geométrica. Exemplo de
representação matricial de um sistema. Matrizes. Definição, dimensão. Matrizes linha e matrizes coluna. Matrizes quadradas. Matrizes nulas. Multiplicação de uma matriz por uma matriz coluna. |
| 30/09 | Soma de matrizes. Multiplicação de uma matriz por um escalar. Multiplicação de matrizes. Matriz identidade de ordem n. Propriedades das operações com matrizes. Operações elementares em linhas de matrizes. Definição de matriz elementar. |
| 3/10 | Produto por matrizes elementares. Relação
entre o produto por matrizes elementares e
operações elementares. Matrizes em escada de linhas, pivots. Redução de uma matriz a uma matriz em escada de linhas por operações elementares em linhas. Caracteristica de uma matriz. Estudo de um sistema linear homogeneo e sua representação matricial |
| 7/10 | Matriz simples e ampliada de um sistema de equações lineares. Resolução de sistemas: método de eliminação de Gauss, método de Gauss-Jordan. Sistemas impossiveis, possiveis e determinados, possiveis e indeterminados. Grau de indeterminação de um sistema. |
| 10/10 | Forma geral das soluções de um sistema de equações. Inversas de matrizes quadradas. Definição, propriedades. Inversas de matrizes elementares. Matrizes inversas de matrizes elementares. Método de cálculo da inversa de uma matriz. |
| 12/10 |
Decomposição de uma matriz invertivel como produto de matrizes elementares. Caracterização das matrizes invertiveis em termos da caracteristica. Sistemas de equações cuja matriz simples é invertivel. Começo do estudo de determinantes. |
| 14/10 | Determinante de uma matriz. Propriedades dos determinantes. |
| 17/10 | Continuação do estudo das propriedades dos determinantes. Fórmula do determinante de uma matriz nxn usando permutações de {1,...,n}. Cofactores. |
| 19/10 | Primeiro teste. |
| 21/10 | Fórmula de Laplace para o cálculo de determinantes. Matriz adjunta de uma matriz quadrada. Relação entre a matriz inversa de uma matriz invertível e a adjunta. Regra de Cramer para a resolução de sistemas possíveis e determinados de n equações a n incógnitas. Nucleo de uma matriz. |
| 24/10 | Combinações lineares de vectores (de R^n).
Expansão linear(subespaço gerado) de um conjunto de
vectores. Exemplos. Definição de subespaço linear de R^n. Exemplos. |
| 26/10 | Exemplos de subespaços lineares de R^n. Espaço
de linhas e espaço de colunas de uma matriz nxm.
Invariância do espaço de linhas por
operações elementares. Independência linear de vectores. Definição e critérios. Base de um subespaço vectorial. Exemplos. |
| 28/10 | Bases ordenadas e coordenadas de um vector em relação a uma base. Propriedades de dependência e independência linear de vectores num subespaço vectorial que tenha uma base com p elementos. Dimensão de um subespaço vectorial. Exemplos. |
| 31/10 | Bases e dimensão dos espaços de linhas, de colunas e nucleo de uma matriz. |
| 2/11 | Definição
de espaço vectorial real ou complexo. Exemplos de espaços
e determinação de bases: R^n,C^n, matrizes,
polinómios, funções reais de variável real. Aula leccionada pela Prof.ª Esmeralda Sousa Dias |
| 4/11 | Definição de valor e vector próprio de uma matriz. Polinómio caracteristico de uma matriz. Revisões. Esta aula foi interrompida a meio por demasiado barulho causado pelos alunos. |
| 7/11 | Segundo teste. |
| 9/11 | Exemplos. Multiplicidade algébrica de um valor próprio. Subespaços próprios. Matrizes diagonalizáveis. Matrizes semelhantes, polinómio caracteristico de matrizes semelhantes. Matrizes diagonalizáveis e bases de vectores próprios. |
| 11/11 | Valores próprios de matrizes triangulares. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. A multiplicidade geométrica é sempre menor que a multiplicidade algébrica. Independência linear de vectores próprios associados a valores próprios distintos. Critério em termos da multiplicidade geométrica dos valores próprios para uma matriz ser diagonalizável. Exemplos. |
| 14/11 | Aplicação da teoria de valores próprios: Equações diferenciais ordinárias lineares. Propriedades das soluções. Sistemas de equações diferenciais lineares de 1ª ordem. Exemplos. |
| 16/11 | Solução geral de um sistema de
equações lineares de 1ª ordem desacopladas.
Solução geral de um sistema cuja matriz é
diagonalizável em R ou C. Redução do estudo de uma equação diferencial homogénea de ordem n coeficientes constantes a um sistema de 1ª ordem. |
| 18/11 | Produto interno em espaços vectoriais reais.
Definição, norma de um vector, desigualdade de
Cauchy Schwarz, desigualdade triangular. Angulo de dois vectores.
Vectores ortogonais. As linhas de uma matriz são ortogonais aos vectores do núcleo da matriz. |
| 21/11 | Somas directas de subespaços. Conjuntos ortogonais de vectores. Independencia linear de conjuntos
ortogonais. Bases ortogonais. Bases ortonormadas. Coordenadas de um vector em relação a uma base ortogonal. Projecção ortogonal de um vector noutro. Processo de Gram-Schmidt. |
| 23/11 | Matrizes ortogonais. Consequencias do processo de Gram-Schmidt: existencia de bases ortonormadas, decomposição QR de matrizes. Complementos ortogonais de subespaços. Projecções ortogonais em subespaços. Propriedades. |
| 25/11 | Teorema da melhor aproximação. Pontos e vectores em R^m. Subespaços afins (n-planos) e soluções de sistemas de equações lineares não homogéneas. Rectas, planos e hiperplanos. Equações vectoriais, paramétricas e cartesianas. Número de equações cartesianas independentes necessárias para definir um n-plano em R^m. |
| 28/11 | Continuação do estudo de equações de n-planos. n-planos definidos por pontos. Exemplos. Distância de um ponto a um n-plano. |
| 30/11 | Matrizes simétricas. Demonstração de
propriedades: os valores próprios são reais, vectores
próprios associados a valores próprios distintos
são ortogonais. Teorema(sem demonstração): Toda a
matriz simétrica real é diagonalizável em R. Corolário: Uma matriz é simétrica se e só se é ortogonalmente diagonalizável. Inicio do estudo do produto interno usual em C^n. |
| 2/12 | Produtos internos em espaços vectoriais complexos. Matrizes hermitianas, anti-hermitianas e unitárias. Valores próprios. Diagonalização. Inicio do estudo do produto externo de dois vectores em R³. |
| 5/12 | Produto externo de dois vectores. Interpretação
da norma do produto externo como a área do paralelogramo
definido pelos dois vectores. Volume de um paralelipipedo em R³. Paralelipipedos-n em R e interpretação do módulo do determinante como o volume. |
| 7/12 | Transformações lineares.
Definição e exemplos. Transformações
lineares definidas por matrizes. Propriedades de transformações lineares. Núcleo de uma transformação linear. |
| 9/12 |
Continuação do estudo das transformações lineares: Uma transformação linear de um espaço de dimensão finita é determinada pelas imagens dos elementos de uma base. Toda a transformação linear de R^n para R^m é representável por uma matriz. Imagem de uma transformação linear. Exemplos de transformações lineares em espaços de polinómios. |
| 12/12 | Representação matricial de uma transformação linear. Bases do núcleo e do espaço imagem de uma transformação linear T em termos de uma matriz que representa T. Teorema: dim Nuc T+ dim Im T= dim V, para uma transformação linear entre os espaços vectoriais V e W de dimensão finita. |
| 14/12 | Matrizes que representam a mesma transformação linear em relação a bases diferentes e matrizes de mudança de base. |
| 16/12 | Transformações
lineares injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Caracterizações. Composição de transformações lineares. Matriz que representa uma composição de transformações lineares. Inversa de uma transformação linear bijectiva. Representação matricial. Exemplos. |
| 19/12 | realização de teste. |
| 21/12 | Discussão da resolução do teste de 10 de Dezembro. Revisões. |