| Aulas |
Sumário |
| 1/03 |
Álgebra(revisões):
aneis comutativos com identidade, ideais. Aneis de polinómios a
uma variável com coeficientes num anel. Aneis de
polinómios a n variáveis. Dominios de
factorização única. Dominios de ideais principais.
Ideal gerado por um subconjunto de um anel. Aneis noetherianos
(todo o ideal é finitamente gerado). Condições
equivalentes. Propriedades dos aneis de polinómios: Se R é dominio de factorização única, então R[T] é dominio de factorização única. Se R é noetheriano, então R[T] é noetheriano (Teorema da base de Hilbert). Consequências: Se K é um corpo, o anel de polinómios K[T_1,...,T_n] é um anel noetheriano e é um dominio de factorização única. Geometria: noção de espaço afim associado a um espaço vectorial V sobre um corpo K. Subespaços afins. Referenciais. Estrutura canónica de K^n como espaço afim. Referencial standard em K^n. Subvariedades afins de K^n. Definição e exemplos. |
| 3/03 |
Ideal I( T) de um subconjunto T de K^n. Propriedades da
correspondência entre ideais e subvariedades. Propriedades de uniões e intersecções de subvariedades afins. Topologia de Zariski. Subvariedades irredutíveis. Uma subvariedade V é irredutível se e só se I(V) é um ideal primo. Nullstellensatz(sem demonstração): várias formulações e consequências. |
| 8/03 |
K-algebras.
Definição e algumas propriedades. K-algebras
finitamente geradas. Morfismos de K-algebras. Anel de coordenadas A(V) de uma subvariedade afim. Funções regulares em subvariedades afins. Propriedades: o anel das funções regulares em V é isomorfo a A(V), se K é infinito. Aplicações regulares entre subvariedades afins. Definição e exemplos. Isomorfismos de subvariedades afins. Correspondência entre aplicações regulares f entre subvariedades afins V e W e morfismos f*de K-algebras de A(W) para A(V). |
| 10/3 |
Propriedades da correspondencia
entre aplicações regulares f
entre subvariedades afins V e W e morfismos f*de K-algebras de A(W)
para
A(V): f é um isomorfismo de variedades se e só se f* é um isomorfismo de k-algebras; f é dominante se e só se f* é injectivo; f(V) é uma subvariedade afim e f induz um isomorfismo entre V e f(V) se e só se f* é sobrejectivo. Espaço projectivo associado a um espaço vectorial. Subespaços projectivos. Dimensões. Rectas, planos e hiperplanos. Intersecção de dois hiperplanos e intersecção de uma recta e um hiperplano. Coordenadas homogéneas de um ponto. Subespaço projectivo gerado por um subconjunto. Pontos independentes. Pontos em posição geral. Decomposição do espaço projectivo P como união disjunta de um espaço afim de dimensão n e de um espaço projectivo de dimensão n-1. |
| 15/03 |
Decomposição do
espaço projectivo de dimensão n como união de n+1
espaços afins de dimensão n. Polinómios homogéneos, ideais homógeneos. Definição de subvariedades projectivas. Topologia de Zariski em P^n. Homogeneização e desomogeneização de polinómios. Relação entre subvariedades afins e subvariedades projectivas. |
| 17/03 |
Exemplos:
classificação de cónicas em espacos afins e
projectivos; cubica racional normal em P^3. Nullstellensatz projectivo. Variedades quase-projectivas. |
| 22/03 |
Subvariedades afins consideradas
como variedades quase-projectivas. Coordenadas homogéneas e
não homogéneas. Funções regulares numa variedade quase-projectiva. Definição e exemplos. Anel das funções regulares numa variedade quase-projectiva. Teorema: Uma função regular numa subvariedade afim de K é definida globalmente por um polinómio. |
| 31/03 |
Aplicações
regulares entre variedades quase-projectivas. Expressões locais
de aplicações regulares. Funções racionais em variedades quase-projectivas. Corpo das funções racionais de uma variedade quase-projectiva irredutivel. Aplicações racionais entrre variedades quase-projectivas. |
| 5/04 |
Produtos de variedades.
Relação com polinómios bihomogéneos. Critério para uma aplicação entre uma variedade quase-projectiva e um produto de variedades ser regular. Funções racionais e aplicações racionais revisitadas. |
| 7/04 |
Correspondência entre
aplicações racionais dominantes de variedades
irredutiveis e morfismos (extensões de corpos) dos
corpos de funções das variedades. Aplicações birracionais. Gráficos de aplicações regulares. Propriedades. |
| 12/04 |
Imagem de uma
aplicação regular. Teorema (sem demonstração): Se Y é uma variedade projectiva e X uma variedade quase-projectiva a projecção XxY em Y é fechada. Corolários. Espaço projectivo dual. |
| 19/04 |
Anel local num ponto
P (=anel dos germes de funções regulares em P) de uma
variedade quase-projectiva. Dimensão de variedades (seguindo a abordagem de Miles Reid- Undergraduate Algebraic Geometry). Espaço tangente a uma hipersuperficie afim irredutivel num ponto; pontos não-singulares de uma hipersuperficie. Espaço tangente a uma subvariedade afim irredutivel V num ponto; pontos não-singulares e definição de dimensão de V como a dimensão do espaço tangente num ponto não-singular. Isomorfismo natural de espaços vectoriais entre o dual de T_P V e m/m² onde m é o ideal maximal de P em k[V]. |
| 21/04 |
Dimensão de uma
variedade quase-projectiva (seguindo a abordagem de
Miles Reid- Undergraduate Algebraic
Geometry). Revisões sobre extensões de corpos. Teorema de normalização de Noether e teorema do elemento primitivo (sem demonstração). |
| 21/04 |
Aula
extraordinária de compensação da aula de 14/04 que
não se realizou Teorema:Toda a variedade quase-projectiva irredutivel é birracionalmente equivalente a uma hipersuperficie de algum espaço afim. Corolário: A dimensão de uma variedade quase-projectiva irredutível V é o grau de transcêndencia do seu corpo de funções racionais K(V) sobre K. Outras caracterizações de dimensão: dimensão de um espaço topológico. |
| 26/04 |
Continuação do
estudo da dimensão. Outras caracterizações de
dimensão. Aplicação tangente. Espaço tangente projectivo. Exemplos de singularidades. |
| 28/04 |
Blow-up de uma variedade num
ponto. Exemplos. |
| 3/05 |
Dimensão das componentes
de uma intersecção de variedades irredutiveis
no espaço afim e no espaço projectivo. Fibrados algébricos em rectas (line bundles). Definição. Seccões globais. Exemplos: o fibrado trivial, o fibrado tautológico em P^n. Operações com fibrados em rectas: dual, produto tensorial. Grupo de Picard de uma variedade. |
| 5/05 |
Exemplos de fibrados em rectas. Prefeixes e feixes. Definição e exemplos. Morfismos de feixes. |
| 10/05 |
Mais exemplos de feixes. Prefeixes nucleo, imagem e conucleo de um morfismo de feixes. Feixe associado a um prefeixe. |
| 12/05 |
Subfeixes. Feixes nucleo, imagem e conucleo de um morfismo de feixes. Feixes quocientes. Sucessoes exactas de feixes. "Stalk" de um feixe num ponto. Imagem directa e imagem inversa de um feixe para uma aplicação contínua de espaços topológicos. O esquema afim Spec(A) para um anel A. |
| 17/05 |
Espaços anelados e
localmente anelados. Morfismos de espaços anelados. Esquemas afins e esquemas. Feixes de módulos e feixes localmente livres. Menção de cohomologia de feixes. |
| 24/05 |
Aula extraordinária de
substituição da aula de 19/05 Variedades não-singulares sobre os números complexos. Noções equivalentes: divisores de Weil, Cartier e feixes de módulos localmente livres de caracteristica 1. Equivalência linear. |
| 24/05 |
O grupo
de Picard de P^n, de A^n e de P^nxP^m. Aplicações racionais para P^n definidas por seccões globais de feixes (ou divisores efectivos). Divisores em curvas não-singulares projectivas. Grau de um divisor. Propriedade: Dois pontos de uma curva não-singular projectiva C são linearmente equivalentes se e só se C é isomorfa a P^1. |
| 31/05 |
Variedades
não-singulares: fibrado cotangente e fibrado
canónico. Género geométrico de uma variedade. Menção da dualidade de Poincaré para feixes. Fibrados em rectas amplos e muito amplos. Condições em termos de secções globais para a aplicação associada às secções globais de um fibrado ser um isomorfismo. Caso das curvas projectivas não-singulares. Fibrado canónico, dualidade. Teorema de Riemman-Roch (sem demonstração). |
| 2/06 |
Continuação do
estudo de curvas projectivas não-singulares Condições em termos do grau e do genus para um fibrado ser muito amplo ou gerado por secções globais. Grau de um aplicação regular entre curvas. Curvas hiperelipticas. |
| 7/06 |
Imagem de uma curva
hipereliptica pela sua aplicação canónica. Divisores de grau 3 em curvas de genus 1. As secções dos fibrados O(nP) sendo P um ponto. Realizaçao das curvas de genus 1 como cúbicas em P^2. |
| 7/06 |
Aula extraordinária substituindo
(antecipadamente) a aula de 9/06 Digressão sobre cúbicas planas não-singulares: lei de grupo. Fibrados canónicos dos espaços projectivos. Fórmula de adjunção para subvariedades não singulares de codimensão 1 de variedades não-singulares. Aplicação às curvas planas não-singulares. |