| Aulas |
Sumário |
| 21/02 2h |
Apresentação. Soluções de equações polinomiais. Alguns problemas relacionados: pontos racionais em circunferências, Álgebra (revisões): aneis comutativos com identidade e morfismos. Aneis de polinómios a uma variável com coeficientes num anel. Aneis de polinómios a n variáveis. Geometria: noção de espaço afim associado a um espaço vectorial V sobre um corpo K. Subvariedades afins de K^n. Definição e exemplos. |
| 22/02 2h |
Propriedades de uniões e intersecções de
subvariedades afins. Topologia de Zariski. Álgebra: Ideal gerado por um subconjunto de um anel, ideais finitamente gerados. Ideais primos, maximais e radicais. Caracterização em termos das propriedades do quociente do anel pelo ideal. K-álgebras. Definição e algumas propriedades. K-álgebras finitas e K-álgebras finitamente geradas. |
| 1/03 3h |
Morfismos de K-álgebras. Corpo de fracções de um domínio de integridade. Propriedades. Os anéis S¯1A para conjuntos multiplicativos S. Anéis noetherianos. Definição e condições necessárias e suficientes. Algumas propriedades. Teorema da base de Hilbert- enunciado sem demonstração e demonstração de alguns corolários. Geometria: Ideal I( T) de um subconjunto T de K^n. Algumas propriedades da correspondência entre ideais e subvariedades. Teorema: Toda a subvariedade afim pode ser definida por um número finito de equações polinomiais. |
| 7/03 2h |
Subvariedades irredutíveis. Uma subvariedade V é
irredutível se e só se I(V) é um ideal primo. Nullstellensatz. Várias formulações, esboço da demonstração e consequências. Necessidade da hipótese "K algébricamente fechado". Bijeccções induzidas pelas correspondências I e V. |
| 8/03 2h15m |
Funções polinomiais em subvariedades afins. Anel de coordenadas A(V) de uma subvariedade afim. Aplicações polinomiais entre subvariedades afins. Definição e exemplos. Correspondência entre aplicações polinomiais f entre subvariedades afins V e W e morfismos f*de K-algebras de A(W) para A(V). Isomorfismos de subvariedades afins. A correspondência classes de isomorfismo de subvariedades afins - classes de isomorfismo de k-álgebras finitamente geradas sem elementos nilpotentes. Menção do espectro de um anel comutativo. Espaço projectivo. Definição e coordenadas homogéneas. |
| 15/03 2h |
Topologia usual nos espaços projectivos reais e complexos. Compacidade. Decomposição do espaço projectivo de dimensão n como união de n+1 espaços afins de dimensão n. Decomposição do espaço projectivo de dimensão n como união disjunta de um espaço afim de dimensão n e de um espaço projectivo de dimensão n-1. Subespaços projectivos. Dimensões. Rectas, planos e hiperplanos. Intersecção de dois subespaços projectivos. Subespaço projectivo gerado por um subconjunto. Pontos independentes. Referenciais projectivos. Espaço projectivo dual. Projectividades. |
| 21/03 2h |
Polinómios homogéneos, ideais homógeneos. Definição de subvariedades projectivas. Topologia de Zariski em P^n. Nullstellensatz projectivo. Exemplos de subvariedades projectivas: subespaços projectivos, cónicas em P². Homogeneização e desomogeneização de polinómios. Inicio do estudo da relação entre subvariedades afins e subvariedades projectivas. |
| 22/03 2h |
Conclusão do estudo da relação entre subvariedades afins e subvariedades
projectivas. Exemplos: homogeneização e desomogeneização de sistemas de equações lineares; hipersuperfícies; quádricas. Classificação projectiva de quádricas. Caso real e caso complexo. Classificação projectiva de cónicas detalhada. |
| 28/03 2h |
Sistemas lineares de curvas planas de grau fixo. Propriedades especiais dos sistemas lineares de cónicas. Número de condições impostas por n pontos. Pontos em posição geral com relação a curvas de grau d. Número de cónicas degeneradas num feixe de cónicas. Parametrização de uma cónica por P¹. Intersecção de rectas e cónicas com curvas de grau d. |
| 19/04 3h |
Revisões e resolução de exercícios. |
| 26/04 2h |
Variedades quase-projectivas. Função regular num ponto numa variedade quase-projectiva. Definição em coordenadas homogéneas e em coordenadas não homogéneas. Toda a função regular numa subvariedade afim é uma função polinomial. Aplicações regulares em variedades quase-projectivas. Aplicações racionais e funções racionais. |
| 3/05 3h |
Funções racionais em variedades quase-projectivas.
Corpo das funções racionais de uma variedade
quase-projectiva irredutivel. Aplicações racionais entre variedades quase-projectivas. Variedades afins. Teorema: Todo o ponto de uma variedade quase-projectiva tem uma vizinhança aberta que é uma variedade afim. Relação de aplicações racionais dominantes e morfismos dos corpos de funções. Aplicações birracionais. |
| 16/05 2h |
Caracterização de aplicações birracionais. Teorema: toda a variedade quase-projectiva é birracional a uma hipersuperficie do espaço afim. Exemplos de aplicações birracionais. Superfície de Veronese (caracterização como o subconjunto correspondente às matrizes simétricas 3x3 de característica 1). |
| 17/05 2h |
Produtos de variedades. Mergulho de Segre.
Relação com polinómios bihomogéneos. Projecções. Gráficos de funções regulares. Critério para uma aplicação entre uma variedade quase-projectiva e um produto de variedades ser regular. Aplicações de Veronese. Exemplos. |
| 23/05 2h |
Dimensão de variedades (seguindo a abordagem de
Miles Reid- Undergraduate Algebraic
Geometry). Espaço tangente a uma hipersuperficie afim irredutivel num ponto; pontos não-singulares de uma hipersuperficie. Espaço tangente a uma subvariedade afim irredutivel V num ponto; pontos não-singulares e definição de dimensão de V como a dimensão do espaço tangente num ponto não-singular. Isomorfismo natural de espaços vectoriais entre o dual de T_P V e m/m² onde m é o ideal maximal de P em k[V]. |
| 24/05 2h |
Dimensão de uma
variedade quase-projectiva (seguindo a abordagem de
Miles Reid- Undergraduate Algebraic
Geometry). Anel local de uma variedade num ponto. Outras caracterizações de dimensão: dimensão como espaço topológico, dimensão como grau de transcendência do corpo de funções, minimo das dimensões de m/m² onde m é o ideal maximal do anel local de um ponto. Espaço tangente projectivo. Exemplos de calculo de singularidades e dimensão. |
| 30/05 2h |
Blow-up de A^n num ponto. Blow-up de uma subvariedade afim
num ponto. Blow-up de P^n num ponto e blow-up de uma variedade
projectiva. Dessingularização de curvas planas. Exemplos. Multiplicidade de um ponto de uma curva plana. |
| 31/05 2h |
Estudo da multiplicidade de um ponto de uma curva plana pela
equação afim. Tangentes principais. Exemplos: nodos e
cuspides. Divisores efectivos de grau d em P². Dimensão do espaço de divisores de grau d. Número de condições impostas pela passagem por um ponto ou por um ponto determinado ter multiplicidade ao menos m ou por um ponto não-singular ter uma determinada tangente. Exemplo: as cónicas (divisores de grau 2 efectivos) irredutiveis formam um aberto denso no espaço projectivo de dimensão 5 que parametriza todas as cónicas. |
| 6/06 2h |
Numero de intersecção de duas curvas em P²
num ponto- definição e propriedades. Exemplos de calculos
de numeros de intersecção. Teorema de Bezout forte e alguns corolários. Aplicações: número e multiplicidades de pontos singulares em curvas de grau d, P¹xP¹ e P² não são variedades isomorfas. O genus de uma curva não-singular de P². |
| 7/06 2h |
Estudo de alguns exemplos. |