| Aulas teóricas |
Sumário |
| 20/09 |
Apresentação:
programa, bibliografia, normas de avaliaçâo. Noção de matriz. Entradas, dimensão. Matrizes linha e matrizes coluna. Matrizes quadradas e rectangulares. Diagonal principal de uma matriz quadrada. |
| 22/09 |
Igualdade de matrizes. Operações com matrizes. Definição de soma de matrizes e algumas propriedades. Matriz nula de dimensão mxn. Definição de produto de uma matriz por um escalar. Definição de produto de matrizes e algumas propriedades do produto. Matriz em escada de linhas. |
| 24/09 |
Matrizes
em escada de linhas: pivots e caracteristica. Matriz identidade. Exemplo de representação matricial de um sistema de equações. Matriz simples e matriz aumentada. Operações elementares em linhas de matrizes. Matrizes elementares. Produto por matrizes elementares. |
| 27/09 | Relação
entre o produto por matrizes elementares e
operações elementares. Redução de uma matriz a uma matriz em escada de linhas por operações elementares em linhas. Caracteristica de uma matriz. Sistemas de equações lineares. Representaçao matricial. Forma das soluções gerais. Sistemas impossiveis, possiveis e determinados, possiveis e indeterminados. |
| 29/09 |
Sistemas
homogeneos. Resolução de sistemas: método de eliminação de Gauss, método de Gauss-Jordan. Inversas de matrizes quadradas. Definição, propriedades. Inversas de matrizes elementares |
| 1/10 |
Matrizes inversas de matrizes
elementares. Método de cálculo da inversa de uma matriz. Sistemas de equações cuja matriz simples é invertivel: algumas propriedades. |
| 4/10 |
Ponte decretada pelo Governo. |
| 6/10 |
Determinantes.
Definição e primeiras propriedades. |
| 8/10 |
Continuação do
estudo das propriedades dos determinantes. Cofactores. |
| 11/10 |
Teste. Fórmula de Laplace
para o cálculo de determinantes. |
| 13/10 |
Matriz adjunta de uma
matriz quadrada. Relação entre a matriz
inversa de uma matriz invertível e a adjunta. Regra
de Cramer para a resolução de sistemas possíveis e
determinados de n equações a n incógnitas. |
| 15/10 |
Espaços vectoriais reais.
Axiomática. Exemplos: R^n,
marizes mxn, funções reais de variável real. |
| 18/10 |
Propriedades da
adição e multiplicação por escalares em
espaços vectoriais (consequências dos axiomas). Mais
exemplos de espaços vectoriais, funções definidas
num conjunto C com contra-dominio R,
sucessões de números reais (C=N), polinómios a uma
varável com coeficientes reais. Subespaços vectoriais: definição e exemplos. Núcleo de uma matriz. |
| 20/10 |
Combinações
lineares de vectores. Expansão linear de um subconjunto de um
espaço vectorial. Exemplos. |
| 22/10 |
Dependência e
indepêndencia linear de vectores. Bases de espaços
vectoriais. Espaços vectoriais de dimensão finita.
Dimensão de um espaço vectorial. |
| 25/10 |
2º teste. Bases ordenadas. Coordenadas de um vector em relação a uma base ordenada. |
| 27/10 |
Exemplos de coordenadas de um
vector em relação a uma base. Mais exemplos de bases
ordenadas. Dimensão do espaço núcleo
de uma matriz. Relação com sistemas de
equações lineares. Espaço de linhas de uma matriz. Invariancia por operações elementares. Dimensão do espaço de linhas de uma matriz. |
| 29/10 |
Espaço de colunas de uma
matriz. Dimensão do espaço de colunas de uma matriz e
base para o espaço de colunas. Teorema: dim Nuc A+ c(A)= n, para
uma matriz mxn. |
| 3/11 |
Relação entre as
coordenadas de um mesmo vector relativamente a bases diferentes. Matriz
de mudança de base. |
| 5/11 |
Exemplo de matriz de
mudança de base. Transformações lineares. Definição. Exemplos: transformação linear de R^n para R^m definida por uma matriz mxn; derivadas no espaço de polinómios de grau menor ou igual a n; reflexão no eixo dos xx em R²; rotação de angulo dado em torno da origem em R²; projecção ortogonal no plano z=0 em R³; reflexão no plano z=o em R³. |
| 8/11 |
Matriz M(T;B_1,B_2) de uma
transformação linear T de espaços vectoriais
de dimensão finita em relação a bases
B_1 do espaço de partida e B_2 do espaço de
chegada. Exemplos. Núcleo e imagem de uma transformação linear. Relação entre o núcleo de uma transformação linear T de espaços vectoriais de dimensão finita e o núcleo da matriz de T em relação a bases fixadas. Relação entre a imagem de uma transformação linear T de espaços vectoriais de dimensão finita e o espaço de colunas da matriz de T em relação a bases fixadas. |
| 10/11 |
3º teste. Bases do núcleo e do espaço imagem de uma transformação linear T em termos de uma matriz que representa T. Teorema: dim Nuc T+ dim Im T= dim V, para uma transformação linear entre os espaços vectoriais V e W de dimensão finita. |
| 12/11 |
Transformações
lineares injectivas, sobrejectivas e bijectivas. Várias
caracterizações. Composição de transformações lineares. |
| 15/11 |
Matriz que representa uma
composição de transformações lineares. Inversa de uma transformação linear bijectiva. Representação matricial. Matrizes que representam a mesma transformação linear em relação a bases diferentes e matrizes de mudança de base. |
| 17/11 |
Matrizes semelhantes. Isomorfismos de espaços vectoriais. Subespaços invariantes de uma transformação linear T de um espaço vectorial. Vectores próprios e valores próprios de uma transformação linear. Subespaços próprios. Multiplicidade geométrica de um valor próprio. |
| 19/11 |
Teoremas:Vectores
próprios associados a valores próprios distintos
são independentes; se V_1,...,V_p são subespaços
próprios então a intersecção de V_1
com V_2+...+V_p é o subespaço nulo. Transformacões lineares diagonalizáveis. Valores e vectores próprios de matrizes quadradas. Determinação de valores e vectores próprios de matrizes. Polinómio caracteristico de uma matriz. |
| 22/11 |
Forma do polinómio
caracteristico. Traço de uma matriz quadrada. Teoremas: matrizes semelhantes tem o mesmo polinómio caracteristico; matrizes semelhantes tem o mesmo traço. Matrizes diagonalizaveis. Condição para uma matriz quadrada de ordem n ser diagonalizavel: soma das dimensões dos subespaços próprios ser n. Determinação de valores e vectores próprios de transformações lineares de espaços vectoriais de dimensão finita. Exemplos. |
| 24/11 |
Algumas
considerações sobre polinómios. Multiplicidade
algébrica de uma raíz. Valores próprios complexos e diagonalização de matrizes em C. Começo do estudo da aplicação da teoria de valores próprios a equações diferenciais. |
| 26/11 |
Redução de
uma equação diferencial de ordem n com coeficientes
constantes a um sistema de equações diferenciais de
primeira ordem. Resolução de sistemas de
equações de primeira ordem diagonais. |
| 29/11 |
Resolução de
sistemas de equações diferenciais de primeira ordem com
matriz diagonalizavel. Inicio do estudo do produto interno. Propriedades do produto interno usual em R^n. Nota-Esta aula foi leccionada pela Prof. Esmeralda Dias |
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Definição de
produto interno em espaços vectoriais reais e complexos. Norma, distância, ortogonalidade. Desigualdade de Cauchy-Schwarz, desigualdade triangular. |
| 6/12 |
Teorema de Pitágoras em
espaços vectoriais com produto interno. Conjuntos ortogonais de vectores. Independencia linear de conjuntos ortogonais. Bases ortogonais. Bases ortonormadas. Coordenadas de um vector em relação a uma base ortogonal. Complemento ortogonal de um subespaço. Projecção ortogonal de um vector num subespaço. |
| 8/12 |
Processo de
ortogonalização de Gram-Schmidt. Teorema da melhor aproximação. Distância a um subespaço. |
| 13/12 |
Equações de
rectas, planos e n-planos. Produto externo de dois vectores em R³. |
| 15/12 |
Propriedades do produto externo. Paralelipipedos-n em R^n. Areas e volumes. Exemplos. |
| 17/12 |
Teste. |