Sumários das Aulas Teóricas de Análise Matemática I - 2º semestre 2005/2006

Instituto Superior Técnico - Cursos: LEAmb, LEB, LEGM, LEM, LEMat, LEQ e LQ

Docente Responsável: Nuno Martins

Início do semestre – 20 de Fevereiro de 2006.

Aula 1. (20.2.06.) Princípio de indução matemática. Exemplos.

Aula 2. (22.2.06.) As propriedades algébricas e de ordem do conjunto R dos números reais.

Aula 3. (24.2.06.) O valor absoluto de um número real. Propriedades.

Aula 4. (3.3.06.) A propriedade de completude de R. (Axioma do Supremo.) A propriedade arquimediana.

Aula 5. (6.3.06.) A propriedade dos intervalos encaixados. Elementos de teoria de conjuntos. Conjuntos numeráveis e conjuntos não numeráveis. Exemplos.

Aula 6. (8.3.06.) Sucessões. Definição de convergência de uma sucessão. Limite. Exemplos.

Aula 7. (10.3.06.) Propriedades algébricas do limite. O limite e as relações de ordem. Propriedades. Teorema das sucessões enquadradas. Exemplos.

Aula 8. (13.3.06.) Teorema das sucessões monótonas e limitadas. Escala de sucessões. O número de Euler “e” como limite de duas sucessões. Exemplos.

Aula 9. (15.3.06.) A noção de limite infinito e propriedades. Levantamento de indeterminações. Cálculo de limites. Limites da média aritmética e da média geométrica dos primeiros n termos de uma sucessão. Aplicações. Exemplos.

Aula 10. (17.3.06.) Noção de subsucessão. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Aplicações. Exemplos.

Aula 11. (20.3.06.) Sucessões de Cauchy. Sucessões contractivas. Aplicações. Exemplos.

Aula 12. (22.3.06.) Séries. Sucessão das somas parciais. Noção de convergência de uma série. Séries de Mengoli. Séries geométricas. Exemplos.

Aula 13. (24.3.06.) Critério geral de comparação. Critério de comparação. Corolários. Séries de Dirichlet. Exemplos.

Aula 14. (27.3.06.) Critério da raíz de Cauchy. Critério da razão de D’Alembert. Critério da condensação de Cauchy. Exemplos.

Aula 15. (29.3.06.) Séries alternadas. Critério de Leibniz. Séries de potências. Exemplos.

Aula 16. (31.3.06.) Funções trigonométricas e respectivas funções inversas. Funções transcendentes elementares.

Aula 17. (3.4.06.) Revisões de séries de potências.

Aula 18. (5.4.06.) Revisões de séries.

Aula 19. (7.4.06.) Revisões de séries e sucessões.

Aula 20. (10.4.06.) Exercícios teóricos de sucessões e séries.

Aula 21. (12.4.06.) Revisões.

Aula 22. (24.4.06.) Noções topológicas na recta real.

Aula 23. (26.4.06.) Definição do limite de uma função num ponto. A equivalência entre a noção de limite segundo Cauchy e a noção de limite segundo Heine. Extensões do conceito de limite: limites infinitos e limites no infinito. Teoremas envolvendo a noção de limite.

Aula 24. (28.4.06.) A definição de continuidade de uma função num ponto. Continuidade: Propriedades locais e propriedades globais. O teorema do valor intermédio e o teorema de Weierstrass.

Aula 25. (3.5.06.) Definição da derivada de uma função num ponto. Regras de derivação. Exemplos.

Aula 26. (5.5.06.) A derivada da função composta. A derivada da função inversa. Exemplos.

Aula 27. (8.5.06.) A diferenciabilidade e os extremos locais. Teorema de Rolle e corolários. Teorema de Lagrange. Exemplos.

Aula 28. (10.5.06.) Aplicações do teorema de Lagrange. Consequências do teorema de Lagrange. Monotonia e extremos locais de funções. Exemplos.

Aula 29. (12.5.06.) A regra de Cauchy. Exemplos.

Aula 30. (15.5.06.) Teorema de Taylor e algumas aplicações.

Aula 31. (17.5.06.) Consequências do teorema de Taylor na existência ou não de extremos locais e no estudo da(s) concavidade(s) do gráfico de uma função.

Aula 32. (19.5.06.) Estudo da existência de assímptotas ao gráfico de uma função. Estudo de funções. Exemplos.

Aula 33. (22.5.06.) Revisões e resolução de exercícios.

Aula 34. (24.5.06.) Revisões e resolução de exercícios.

Aula 35. (26.5.06.) Revisões e resolução de exercícios.

Aula 36. (29.5.06.) Revisões e resolução de exercícios.

Aula 37. (31.5.06.) Revisões e resolução de exercícios.

Aula 38. (2.6.06.) Revisões e resolução de exercícios.

Aula 39. (5.6.06.) Revisões e resolução de exercícios.

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