ANÁLISE FUNCIONAL
LMAC,
MMA
2º Semestre 2012/2013
Programa (Aprovado pelo Conselho Científico do IST)
Generalidades sobre espaços
métricos: sucessões de Cauchy, completude e completação. Espaços de Hilbert: produtos
internos, ortogonalidade, bases hilberteanas, cálculo da aproximação óptima,
série de Fourier, relação de Parseval.
Operadores lineares limitados em espaços de Hilbert: propriedades elementares,
funcionais em espaços de Hilbert, operadores adjuntos, autoadjuntos, unitários
e normais, operadores de projecção ortogonais, subespaços invariantes,
operadores compactos.
Teoria espectral dos operadores autoadjuntos compactos: espectro e imagem numérica de um
operador limitado, o teorema espectral, cálculo operatorial para operadores
autoadjuntos compactos. Espaços de Banach: propriedades elementares, o espaço
quociente, funcionais lineares e espaços duais, o teorema de Hahn-Banach e
consequências, espaços reflexivos, o operador transposto, os teoremas da
aplicação aberta e do gráfico fechado, o princípio da limitação uniforme.
Álgebras de Banach: definições e exemplos, invertibilidade, ideais,
ideais maximais e a álgebra quociente, espectro.
Operadores compactos em espaços de Banach: propriedades gerais, aproximação
por operadores de característica finita, teoria de Riesz-Schauder, o espectro
de um operador compacto.Operadores de Fredholm: exemplos, caracterizações dos
operadores de Fredholm, teoremas de perturbação, propriedades do índice,
álgebras de Calkin
Planeamento
0 Exemplos de espaços
lineares
[0.5 semanas]
I Espaços métricos e espaços
normados [2 semanas]
II Espaços de Banach [3.5 semanas]
III Espaços
de Hilbert [2.5 semanas]
IV Teoria de Operadores [3 semanas]
V Álgebras de Operadores [1.5 semana]
Bibliografia
[0]
Análise Funcional, Fevereiro de 2013, Paulo Pinto, IST.
[1] Elementary Functional Analysis,
Barbara D. MacCluer, Graduate Texts in Mathematics 253, Springer, 2009
[2] An Introductory Functional Analysis, E.
Kreyszig, 1978, Wiley, New York
[3] Fundamentals of the Theory of Operator
Algebras, Vol. I e II; R.V. Kadison and J. Ringrose, AMS, 1997
[4] Quantum Symmetries on Operator
Algebras. D. E. Evans and Y. Kawahigashi, Oxford University Press,
[5]
Ver mas referências aqui e a bibliografia
no Fénix.