Álgebras de Operadores 2006/2007

Distribuição aproximada da matéria por aula teórica

-- Apresentação

Apresentação, método de avaliação e motivação dos assuntos a serem leccionados.

-- Espaços de Hilbert

Espaços métricos. Sucessões convergentes e de Cauchy. O espaço completado de um espaço métrico: sua existência e unicidade. Espaços normados. Espaços pré-Hilbert e de Hilbert. Exemplos.

-- Construção de espaços de Hilbert

Noção de base ortonormada em espaços de Hilbert. Espaços de Hilbert separáveis e exemplos. Soma e produto tensorial de espaços de Hilbert.

-- O espaço de Banach B(H)

Definição do espaço normado B(X,Y) das transformações lineares continuas entre espaços normados X e Y. Prova de que se Y for um espaço de Banach, então B(X,Y) também é de Banach, com a norma ||T||=sup{||T(x)||: ||x||=1}.

Exemplos incluindo B(H)=B(H,H) quando H é um espaço de Hilbert e o dual X*=B(X,C) onde C designa os complexos. Espaços reflexivos. Teorema da representação de Riesz e a verificação de que qualquer espaço de Hilbert é automaticamente reflexivo.

Breve revisão sobre os teoremas fulcrais da Análise Funcional clássica a serem usados ao longo do curso. P.ex., os teoremas de Hahn-Banach, representação de Riesz etc..

-- Álgebras de Banach

Definição de álgebra de Banach. Álgebras de Banach com unidade e comutativas. Exemplos. A forma de "mergulhar" qualquer álgebra de Banach sem unidade numa com unidade.

Teorema da representação regular à esquerda e a respectiva demonstração.

-- Espectro

Estudo do conjunto dos elementos invertíveis num álgebra de Banach. Definição de espectro e resolvente e a prova de que o espectro é um conjunto compacto não vazio. Alguns exemplos triviais.

-- Raio espectral

Teorema de Gelfand-Mazur. Teorema espectral para polinómios. Raio espectral e formula de Beurling. Elementos nilpotentes generalizados e cálculo do seu espectro. Divisores topológicos de zero e a prova que a fronteira de G, dos elemento invertíveis de A, é somente formada por divisores topológicos de zero, e consequentemente que a fronteira do espectro cresce quando passamos da fronteira de um elemento de uma subálgebra para a fronteira do espectro desse mesmo elemento num álgebra maior (precisamente ao contrario do espectro).

-- Ideais e Radical de Jacobson

A álgebra de Wiener e álgebras de grupos abelianos localmente compactos.
Operador (compacto) de Volterra e calculo do seu espectro: Sigma(V)={0}.

Ideais à esquerda, à direita e bilaterais. Exemplos. Álgebras simples.
Exemplos incluindo a álgebra das matrizes nxn sobre o complexo Mat_n(C). A álgebra de Banach quociente A/I dado um ideal fechado I.
Ideais máximais e definição de radical de Jacobson. Álgebras semi-simples.

-- Espectro de uma álgebra de Banach

Várias caracterizações para o radical de Jacobson.

Caracteres de uma álgebra de Banach com unidade e espectro da álgebra Sigma_A. Exemplos: onde existe um carácter outro onde não existe nenhum. Relação entre Sigma_a e o espectro sigma(a) de cada elemento a em A. Determinação do espectro da álgebra de Wiener.

-- Transformada de Gelfand

Prova de que senda A de Banach abeliana, o núcleo dos caracteres de A esgotam os ideais maximais de A. Exemplo: determinação de todos os ideais de C(X) com X compacto de Hausdorff e como corolário a prova de que A=C(X) é semi-simples.

Prova de que o espectro de uma álgebra abeliana com unidade é um conjunto compacto para a topologia fraca-* do dual A*. Definição da transformada de Gelfand e as suas propriedade fundamentais, em particular a prova de que o núcleo da transformada de Gelfand é o radical de Jacobson da álgebra. Algumas consequências imediatas, p.ex. a prova de que duas normas de Banach numa álgebra de Banach abeliana semi-simples com unidade são automaticamente equivalentes.

Verificação de que a álgebra A=C^\infty([0,1]) não tem nenhuma norma de torne A uma álgebra de Banach.

-- Representações de álgebras de Banach

Definição de representação de álgebra de Banach, de representação irredutível (irrep) e de representações equivalentes. Exemplos, incluindo o caratéres de álgebras de Banach comutativas.

Irreps usando os ideias maximais à esquerda. Utilização das irreps para calcular o espectro de um cada elemento e caracterizar o Radical de Jacobson como sendo a intersecção dos núcleos de todas as representações (contínuas) irredutíveis da álgebra. A definição de Prim(A).

-- Álgebras-C*

Definição de álgebras involutivas, Banach-* e álgebras-C*. Exemplos, incluindo B(H) com H espaço de Hilbert, C(X) e L^\infty(X, \mu) para uma medida Boreliana regular e finita num espaço de medida. verificação de que L^\infty(X, \mu) pode ser encarada como uma sub-álgebra de B(H) com H=L^2.

Prova de que uma álgebra-C* é automaticamente uma álgebra de Banach-*.

-- Para elementos auto-adjuntos o raios espectral coincide com a sua norma

Definição de álgebra-C* gerada por um elemento C*(a). A álgebra C*(a) é comutativa quando a é normal aa*=a*a. Uso da formula de Beurling para provar que se h=h*, então ||h||=r(h). Como corolários prova-se que qualquer homomorfimso-* entra álgebras-C* é automaticamente contínuo; mais, se esse homomorfismo for isomorfismo então é isométrico e consequentemente cada álgebra-C* possuí uma única norma-C*, i.e. ||a*a||=||a||^2.

-- Teorema de Gelfand-Naimark e cálculo operacional para elementos normais

Estudo dos elementos normais, auto-adjuntos, unitarios em álgebras-C*. Em particular concluir que o espectro de um elemento numa subalgebra-C* concide com o espectro desse elemento na álgebra-C* maior.

Prova do teorema de Gelfand-Naimark: Se A é uma álgebra-C* comutatica com unidade, então A é isometricamenmte isomorfa a À álgebra das funções contínuas no seu espectro C(Sigma_A). Mais, as álgebras C(Omega_1) é isometricamente isomorfa a C(Omega_2) sse os compactos de Hausdorff Omega_1 e Omega_2 são homeomorfos.

Prova do teorema Espectral abstracto: dado a normal num álgebra-C* com unidade, o Espectro de C*(a) é homeomorfo a sigma(a) e consequentemente C*(a) isometricamente isomorfo a C(sigma(a)).

Cálculo funcional contínuo: sendo a normal, para cada f em C(sigma(a) existe um único f(a) em C*(a) tal que 1->1 e (f(z)=z)->a. Mais, sigma(f(a))=f(sigma(a)).

-- Cone Positivo de álgebras-C*

Raiz quadrada de elementos positivos, decomposição h=h1-h2 de elementos auto-adjuntos h em elementos positivos h1 e h1 tais que h1h2=0. Sua unicidade. Como corolário temos que qualquer elemento numa álgebra-C* é combinação linear de 4 elementos positivo.

Prova de que o conjunto dos elementos positivos de A é um cone fechado para a norma.

Decomposição polar a=|a| u para elementos a invertíveis, onde |a|=\sqrt{a*a} e u unitário. Prova de que um elemento x numa álgebra-C* é positivo sse x=a*a para algum a na álgebra.

-- Ideais em álgebras-C*. Estados, e estados puros

A noção de aproximação da unidade para ideias de álgebras-C*. A prova da sua existência e como corolário a prova de que o quociente A/I também é uma álgebra-C* desde de que I seja fechado (e portanto auto-adjunto).

Representações irredutíveis. Representações unitariamente equivalentes em álgebras-C*. Definição do conjunto dos estados S_A={w: A-> C positivo, contínuo e w(I)=1}. Exemplos provenientes de reps de A.

-- Construção de Gelfand-Naimark-Siegal. Álgebras de Cuntz-Krieger

A construção de Gelfand-Naimark-Siegel: a sua existência e unicidade. Estados puros e extremais, prova da sua existência usando o teorema de Krein-Milman. Representações irredutíveis em álgebras-C* vs estados puros.

Como exemplo, obtém-se os estados (puros) de C(X).

Construção das álgebras de Cuntz-Krieger O_A associada a matrizes finitas com zeros e uns. Caso particular das álgebras de Cuntz. O seu aparecimento em sistemas dinâmicos e a propriedade universal destas álgebras.

-- Álgebra de Cuntz

Construção da álgebra de Cuntz O_n usando o espaço de Fock F(H) onde H=C^n. A acção de S^1 em O_n e a prova de que a álgebra dos pontos fixos F_n é uma álgebra-C* aproximadamente finita (AF). Uso da esperança condicional E: O_n-> F_n para fabricar estados em O_n usando estado de Mat_nxn(C). O endomorfismo canónico de O_n e a sua restrição a F_n e a parte comutativa D_n, sobre a qual se reduz ao shift de Bernoulli.

-- Álgebra de Rotação

Prova de que F_n e O_n são álgebra-C* simples. Breve referência a outras aplicações das álgebras de Cuntz e Cuntz-Krieger. definição de álgebra de rotação A_\theta, e algumas propriedades. Observações finais sobre álgebras-C*, incluindo a prova de que qualquer álgebra-C* é semi-simples.

-- Álgebras de von Neumann

Topologias fraca, forte e da norma em B(H). O comutante de uma conjunto S em B(H). Dado um vector x no espaço de Hilbert H, definem-se duas projecções ortogonais sobre [Mx] e [M’x]: a prova de que a primeira está em M’ e a segunda em M.

Teorema do bicomutante de Murray e von Neumann e definição de álgebra de von Neumann. Exemplos.

-- Classificação dos factores

Decomposição polar a=vr de a em N como produto de uma isometria parcial v e um elemento positivo r. A prova de que r e v estão na álgebra de von Neumann N. A prova de que o conjunto de todas as projecções de N constitui um reticulado completo.

A prova de que qualquer elemento numa álgebra de von Neumann é combinação linear de 4 unitários da mesma álgebra e como corolário prova-se que um elemento x pertence a N sse uxu*=x para todo o unitário u em N’. Consequentemente qualquer álgebra de von Neumann é o comutante de um grupo. A unicidade da decomposição é outra consequência deste critério para ver que x está em N.

Definição de projecção minimal, finita, infinita, e de álgebra finita, semi-finita e puramente infinita. Centro de uma álgebra de von Neumann. E a noção de factor. Exemplos de factores e não factores.

Classificação de Murray-von Neumann dos factores em tipos I, II e III. Exemplos de tipo I e indicação de exemplos do tipo III e II usando a construção GNS na álgebra de Cuntz O_n e na sua parte AF, respectivamente.

-- Exemplos de factores do tipo II_1

Vectores geradores e vectores separadores em álgebras de von Neumann.

Representações regulares à esquerda e à direita de grupos discretos e as respectivas álgebras de von Neumann geradas. Prova para grupos i.c.c (todas as classes de conjugação tem um numero infinito de elementos, excepto a da identidade) discreto as álgebras de von Neumann associadas ao grupo são do tipo II1. Caso em que o grupo G é finito e a decomposição da álgebra de grupo em soma directa de álgebras matriciais associadas a cada representação irredutível do grupo.

-- Produto Cruzado

Definição de acções de grupos (discretos) em álgebras de von Neumann. Exemplos. Definição de produto cruzado e as álgebras de grupo tratadas na aula anterior como exemplos de produtos cruzados. Acções interiores e exteriores e a observação de que se N é um factor e a acção é livre então o produto cruzado também é um factor.

-- Acções Exteriores e Ergódicas

Definição de automorfismos livres, segundo von Neumann para álgebras abelianas e segundo Kallman para álgebras de von Neumann quaisquer. A prova de que estas noções são equivalentes em álgebras de von Neumann abelianas.

Sendo M um factor, a provou-se que um automorfismo de M é exterior sse ele é livre. Sendo alpha um acção de um grupo num factor, ele é exterior sse o comutante de M relativo ao produto cruzado reduz-se ao múltiplos da unidade.

Revisão das noções de acções livres e ergódicas num espaço de medida e verificação de que estas noções coincidem com as noções de acções livres e ergódicas na álgebra de von Neumann abeliana associdada ao espaço de medida, L^\infty(X,\mu).

Sendo alpha uma acção numa álgebra de von Neumann N, ergódica no centro de N, então o produto cruzado é um factor.

-- Breve introdução à teoria de Subfactores

Introdução à teoria de Subfactores, incluindo as noções de grupo de Galois, índice de Jones, torre de Jones e a torre ‘derivada’ como invariantes para os subfactores. Exemplos provenientes de acções de grupos finitos em facores do tipo II_1.

Referencia aos resultados mais importantes de Jones, Ocneanu e Popa, incluindo a família de projecções que satisfazem as relações de Temperley-Lieb bem conhecidas em Mecânica Estatística. Indicação de como se chega ao famoso polinómio de Jones para o Teoria de Nós.