Análise Matemática II — LEIC — 1º Semestre de 2006/2007

Sumários

Aulas Teóricas

  • 1ª aula — 11/09/06 — Apresentação. Regras de funcionamento da disciplina. Descrição do programa. Primitivação.
  • 2ª aula — 12/09/06 — Continuação. Primitivação por partes. Exemplos.
  • 3ª aula — 14/09/06 — Primitivação por sustituição. Exemplos. Primitivação de funções racionais. Exemplos.
  • 4ª aula — 18/09/06 — Integral de Riemann: partições finitas de um intervalo, somas de Darboux, integral inferior e integral superior de uma função limitada num intervalo limitado, definição de integral de Riemann. Exemplo de função não integrável à Riemann.
  • 5ª aula — 19/09/06 — Critério de integrabilidade. Integrabilidade das funções contínuas, das funções limitadas e descontínuas apenas num número finito de pontos, das funções monótonas, em intervalos limitados e fechados. Propriedades do integral.
  • 6ª aula — 21/09/06 — Teorema da média. Integrais indefinidos e propriedades. Teorema Fundamental da Análise. Primitivação de funções contínuas. Regra de Barrow. Exemplos.
  • 7ª aula — 25/09/06 — Cálculo de áreas de regiões do plano. Cálculo de volumes de sólidos em R^3 com integrais simples. Exemplos. Comprimento do gráfico de uma função de variável real. Exemplos.
  • 8ª aula — 26/09/06 — Continuação da aula anterior. Àreas em coordenadas polares. Integração por partes e integração por substituição. Exemplos.
  • 9ª aula — 28/09/06 —Revisão:a derivada é a melhor aproximação linear a uma função na vizinhança de um ponto. Polinómio de Taylor de ordem n de uma função diferenciável n vezes num ponto. Exemplos. O resto R_n(x). Fórmula integral para R_1(x).
  • 10ª aula — 2/10/06 — Fórmula integral para R_n(x). Fórmula de Lagrange para o resto. Exemplos.
  • 11ª aula — 3/10/06 — R_n(x)= o( (x-a)^n). Exemplos. Revisão: propriedades fundamentais das séries de potências. Diferenciação e integração de séries de potências. Série de Taylor. Funções analíticas. Critério de analiticidade. Exemplos.
  • 12ª aula — 9/10/06 — Continuação. Classificação dos pontos de estacionaridade. Exemplos. Introdução à análise em R^n.
  • 13ª aula — 12/10/06 — Norma e distância. Bolas abertas em R^n. Sucessões e limites de sucessões em R^n.
  • 14ª aula — 16/10/06 — Continuação. Convergência de sucessões em R^n. Teorema de Bolzano-Weierstrass. Exemplo.
  • 15ª aula — 17/10/06 — Noções topológicas em R^n: pontos interiores, exteriores, fronteiros, aderência, conjuntos abertos, fechados, limitados, compactos e conexos. Exemplos.
  • 16ª aula — 19/10/06 — Continuidade de funções definidas em domínios de R^n e com valores em R^m. Exemplos.
  • 17ª aula — 23/10/06 — Limites dos valores de uma função num ponto interior ou fronteiro ao seu domínio. Relação com a continuidade. Exemplos.
  • 18ª aula — 24/10/06 — Limites direccionais. Exemplos. Coordenadas polares em R^2 e aplicações ao cálculo de limites. Teorema de Weierstrass.
  • 19ª aula — 26/10/06 — Revisões.
  • 20ª aula — 30/10/06 — Teorema do valor intermédio. Derivadas parciais. Exemplos.
  • 21ª aula — 31/10/06 — Derivadas direccionais. Exemplos. Diferenciabilidade de funções definidas em subconjuntos de R^n.
  • 22ª aula — 2/11/06 — Continuação da aula anterior. Matriz Jacobiana. Derivadas direccionais de funções diferenciáveis. Exemplos. Gradiente de um campo escalar. Condição suficiente de diferenciabilidade.
  • 23ª aula — 6/11/06 — Regra da derivação composta para funções vectoriais de variável vectorial. Exemplos.
  • 24ª aula — 7/11/06 — Continuação. Conjuntos de nível de funções escalares em R^n. Exemplos. Relação de perpendicularidade entre o gradiente e os conjuntos de nível. Planos tangentes a superfícies de nível. Exemplos.
  • 25ª aula — 9/11/06 — Continuação. Derivadas parciais de ordem superior à primeira. Exemplos. Teorema de Schwarz.
  • 26ª aula — 13/11/06 — Fórmula de Taylor para campos escalares em R^n. Exemplo.
  • 27ª aula — 14/11/06 — Extremos de campos escalares em R^n: condição necessária para um ponto ser extremo de um campo escalar diferenciável; pontos de estacionaridade; pontos em sela. Exemplos. Matriz Hessiana.
  • 28ª aula — 16/11/06 — Condições necessárias e suficientes (de segunda ordem) para que um ponto crítico seja um máximo ou um mínimo local ou um ponto de sela. Exemplos.
  • 29ª aula — 20/11/06 — Continuação da aula anterior. Introdução ao Teorema da Função Inversa.
  • 30ª aula — 21/11/06 — Teorema da Função Inversa. Exemplos. Introdução ao Teorema da Função Implícita.
  • 31ª aula — 23/11/06 — Teorema da Função Implícita. Exemplos. Interpretação analítica e geométrica do Teorema da Função Implícita.
  • 32ª aula — 27/11/06 — Continuação da aula anterior. Variedades diferenciais de dimensão p em R^n: descrição local através de sistemas de (n-p) equações em R^p.
  • 33ª aula — 28/11/06 — Descrição local de variedades através de gráficos. Exemplos. Espaço tangente e espaço normal.
  • 34ª aula — 30/11/06 — Continuação da aula anterior. Exemplos.
  • 35ª aula — 4/12/06 — Extremos condicionados. Introdução ao método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplo.
  • 36ª aula — 5/12/06 — Método dos multiplicadores de Lagrange. Exemplos.
  • 37ª aula — 7/12/06 — Revisões.
  • 38ª aula — 11/12/06 — Revisões.
  • 39ª aula — 12/12/06 — Revisões.

Aulas Práticas

  • 1ª aula — semana de 11/09/06 — Revisão de derivadas. Primitivação: primitivas imediatas.
  • 2ª aula — semana de 18/09/06 — Primitivação por partes e por substituição. Primitivação de funções racionais.
  • 3ª aula — semana de 25/09/06 — Cálculo de integrais. Regra de Barrow. Aplicações do Teorema Fundamental da Análise.
  • 4ª aula — semana de 2/10/06 — Aplicações geométricas do integral: Cálculo de áreas, volumes e comprimentos de linha.
  • 5ª aula — semana de 9/10/06 — Fórmula de taylor e resto de Lagrange. Séries de Taylor. Classificação de pontos de estacionaridade.
  • 6ª aula — semana de 16/10/06 — Continuação da aula anterior. Noções topológicas em R^n.
  • 7ª aula — semana de 23/10/06 — Continuação da aula anterior. Revisões.
  • 8ª aula — semana de 30/10/06 — Continuidade e limites.
  • 9ª aula — semana de 6/11/06 — Cálculo de derivadas parciais, de derivadas segundo um vector v e de matrizes jacobianas.
  • 10ª aula — semana de 13/11/06 — Regra da derivação composta para funções de variável vectorial. Esboço de curvas de nível.
  • 11ª aula — semana de 20/11/06 — Cálculo de rectas normais e planos tangentes a superfícies de nível. Fórmula de Taylor. Início do estudo de extremos de funções.
  • 12ª aula — semana de 27/11/06 — Estudo de extremos de funções. Teorema da Função Implícita.
  • 13ª aula — semana de 4/12/06 — Teorema da Função Implícita e Teorema da Função Inversa.
  • 14ª aula — semana de 11/12/06 — Extremos condicionados: método dos multiplicadores de Lagrange.