Geometria Riemanniana

— 1º Semestre de 2005/2006

Sumários

Aulas Teóricas

• 1ª aula — 13/09/05 — Apresentação do programa, bibliografia e regras de funcionamento da disciplina. Noções básicas de topologia. Variedades topológicas. Exemplos.
• 2ª aula — 15/09/05 — Variedades diferenciáveis. Exemplos. Aplicações diferenciáveis.
• 3ª aula — 20/09/05 — Vectores tangentes e espaço tangente. Derivada de uma aplicação diferenciável.
• 4ª aula — 22/09/05 — Imersões e mergulhos. Exemplos. Subvariedades. Conjuntos de nível regulares.
• 5ª aula — 27/09/05 — Campos Vectoriais. Parêntesis de Lie e as suas propriedades. Curvas integrais e campos vectoriais completos.
• 6ª aula — 29/09/05 — Grupos de Lie (exemplos). Campos invariantes à esquerda. Álgebra de Lie de um grupo de Lie (exemplos).
• 7ª aula — 4/10/05 — Aplicação exponencial. Orientabilidade. Variedades diferenciáveis com fronteira.
• 8ª aula — 6/10/05 — Variedades diferenciáveis com fronteira (continuação). Definição de tensor, produto tensorial, tensor alternado e produto exterior de tensores altenados.
• 9ª aula — 11/10/05 — Tensores (continuação: base para o espaço de tensores-k alternados). Formas de grau k definidas numa variedade diferenciável. Pullback de formas.
• 10ª aula — 13/10/05 — Derivada exterior de formas diferenciais (propriedades). Integração de formas.
• 11ª aula — 18/10/05 — Teorema de Stokes. Orientação e formas volume.
• 12ª aula — 20/10/05 — Campos tensoriais. Métricas e variedades Riemannianas. Exemplos.
• 13ª aula — 25/10/05 — Fórmulas volume Riemannianas. Conexões afins e derivadas covariantes. Campos vectoriais paralelos e geodésicas.
• 14ª aula — 27/10/05 — Conexões simétricas e compatíveis com a métrica. Conexão de Levi-Civita. Propriedades das geodésicas (homogeneidade das geodésicas e aplicação exponencial).
• 15ª aula — 3/11/05 — Propriedades das geodésicas (continuação).
• 16ª aula — 8/11/05 — Propriedades das geodésicas (continuação): Teorema de Hopf-Rinow.
• 17ª aula — 10/11/05 — Curvatura e tensor de curvatura. Curvatura seccional.
• 18ª aula — 15/11/05 — Variedades isotrópicas e com curvatura constante. Tensor de curvatura de Ricci e curvatura escalar. Formas da conexão. Teorema de Cartan (enunciado).
• 19ª aula — 17/11/05 — Demonstração do Teorema de Cartan. Formas de curvatura e terceira equação de estrutura de Cartan.
• 20ª aula — 22/11/05 — Relação entre as formas de conexão de 2 referenciais ortonormados em variedades de dimensão 2. Curvatura geodésica. Indíce de um campo vectorial numa singularidade isolada. Enunciado do Teorema de Gauss-Bonnet.
• 21ª aula — 24/11/05 — Demonstração do Teorema de Gauss-Bonnet. Característica de Euler. Exemplos. Variedades com curvatura constante. Exemplos (espaços hiperbólicos).
• 22ª aula — 29/11/05 — Teorema de Killing-Hopf. Exemplos.
• 23ª aula — 13/12/05 — Imersões isométricas: segunda forma fundamental. Curvatura de Gauss e curvatura média de uma imersão isométrica.
• 24ª aula — 15/12/05 — Imersões isométricas: formas da conexão. Exemplos.

Aulas Práticas

• 1ª aula — 13/09/05 — Exemplos de variedades topológicas de dimensão 2 (superfícies). Relações de equivalência, espaço quociente e topologia quociente. Exemplos de identificações no quadrado. Soma conexa de superfícies. Teorema de classificação de superfícies. Orientação e característica de Euler.
• 2ª aula — 20/09/05 — Resoluçao de exercícios sobre variedades e aplicações diferenciáveis. Espaço Projectivo Real.
• 3ª aula — 27/09/05 — Resoluçao de exercícios sobre o espaço tangente, imersões e mergulhos: atlas do fibrado tangente, Teorema de Whitney, exemplos de subvariedades como conjuntos de nível regulares.
• 4ª aula — 4/10/05 — Resoluçao de exercícios sobre campos vectoriais. Derivada de Lie de um campo vectorial.
• 5ª aula — 11/10/05 — Grupos de Lie (Grupo Unitário e Grupo Unitário Especial. Identificação de SU(2) com os quaterniões de norma 1 e aplicação exponencial). Resolução de exercícios sobre variedades orientáveis e variedades com fronteira (orientação induzida na fronteira).
• 6ª aula — 18/10/05 — Cálculo de integrais de formas. Aplicações do Teorema de Stokes. Teorema do ponto fixo de Brower.
• 7ª aula — 25/10/05 — 1º Teste.
• 8ª aula — 8/11/05 — Estudo da métrica Riemanniana standard em S²: conexão de Levi-Civita, isometrias, geodésicas, transporte paralelo, postulado das paralelas.
• 9ª aula — 15/11/05 — Campos vectoriais de Killing. Coordenadas normais. Equação de Jacobi e campos vectoriais de Jacobi. Tensor de Ricci e curvatura escalar de uma variedade Riemanniana isotrópica.
• 10ª aula — 22/11/05 — Exemplo de cálculo das formas de conexão e curvatura de Gauss de superfícies. Exemplo de cálculo do Tensor de Ricci e Curvatura escalar em variedades de dimensão 3.
• 11ª aula — 29/11/05 — Aplicações do Teorema de Gauss-Bonnet para variedades com e sem fronteira. Interpretação geométrica da curvatura de Gauss.
• 12ª aula — 13/12/05 — Propriedades da segunda forma fundamental. Cálculo da curvatura de Gauss e da curvatura média de superfícies de revolução no espaço euclideano. Exemplos.