MATEMÁTICA COMPUTACIONAL

SUMÁRIOS DAS AULAS TEÓRICO/PRÁTICAS

2º semestre 2008/2009

aula 1- 2 Março (2ªf) e 3 Março (3ª)
Apresentação do programa da cadeira, bibliografia e método de avaliação.
Modelos físicos e modelos matemáticos. Exemplos.

aula 2 – 4 Março (4ªf)  e 6 Março (6ªf)
Conceitos básicos da teoria dos erros.
Erro relativo e  erro absoluto .Representação de números num computador. Bases e Sistemas de vírgula flutuante.
Arredondamento simétrico e por corte.  Unidade de arredondamento. Mau condicionamento de problemas e  algoritmos instáveis. Exemplos.

aula 3-- 9 março (2ªf ) e 10
Cap 2. Métodos iterativos para equações não lineares. Localização e separação das raízes: análise
gráfica e análise teórica. Exemplo. O método da bissecção e respectiva fórmula de erro.

aula 4 --11 março (4ªf)   e  13  março(6ªf)
Definição de pontos fixos de uma função.  Interpretação geométrica e exemplos.
Sucessão gerada por uma função g (iteração do ponto fixo). Exemplos e interpretação gráfica.
No caso de uma  sucessão convergente, o que se pode concluir sobre  o limite z.

aula 5 --16 março (2ªf ) e 17
Teorema do ponto fixo (enunciado e demonstração). Estimativas de erro.
Aplicação do  teorema do ponto fixo a um exemplo:  aproximar a raiz da equação 1- sin x- x =0.

aula 6 --18 março (4ªf )  e 20 (6ªf )
Condições suficientes de divergência da sucessão do ponto fixo. Pontos fixos repulsores e atractores. Exemplos.
Rapidez e ordem de convergência.

aula 7-- 23 março (2ªf) –e 24

Análise da ordem de  convergência do método do ponto fixo: convergência linear.
e convergência supralinear. Teorema geral da ordem de convergência.
Exemplos.

aula 8 -- 25 março (4ªf) e 27
O método de Newton: dedução geométrica e fórmula do erro. Exemplo: aproximar z = raiz cúbica de 100 e estimar o erro
da segunda iterada.

aula 9 --30 março (2ªf)

Convergência local do método de Newton. Critérios suficientes  de convergência do método de Newton. Um caso de divergência.

aula 10--1 Abril (4ªf )  e 3 (6ª)

Ordem de convergência do método de Newton (como um método do ponto fixo)
O método da secante (dedução geométrica).

Sistemas de equações não  lineares: o método de Newton.

aula 11 -- 6 abril (2ªf )  e  7 abril (3ªf )
Cap 3  Métodos numéricos para sistemas de equações
ii.   sistemas de equações  lineares:
                Normas vectoriais e normas matriciais  induzidas. Raio espectral.

aula 12 -- 8 abril (4ªf )  (turno 1)

Condicionamento de sistemas de equações  lineares. Número de condição de uma matriz.
Previsão do erro na solução do sistema Ax=b quando o vector b está afectado de erro. Exemplos.

Aula prática extra

Férias de 9 Abril a 15 Abril

aula 12-- 17 abril (6ªf )  turno 2

Condicionamento de sistemas de equações  lineares. Número de condição de uma matriz.
Previsão do erro na solução do sistema Ax=b quando o vector b está afectado de erro. Exemplos.

aula 13--20 abril  (2ªf ) e 21 (3ª)

Introdução aos  métodos iterativos para sistemas lineares Ax=b: os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel.
Obtenção de métodos iterativos  para sistemas lineares Ax=b através da decomposição A=M+N. Casos particulares: métodos de Jacobi e
Gauss-Seidel.

aula 14--  22 abril  (4ªf )  e 24 (6ª)

 Análise da convergência dos métodos iterativos  da forma:  x^{(k+1)} = C x^{(k)} + d. Condição suficiente de convergência baseada
 na norma da matriz C; fórmulas de erro. Aplicação a um exemplo.  Condição necessária e suficiente de convergência baseada no raio espectral da matriz C.

aula 15--27 abril (2ª) e 28

Critérios suficientes de convergência para os métodos de Jacobi e Gauss-Seidel, no caso em que a matriz do sistema dado, Ax=b, é de diagonal estritamente dominante por linhas ou por colunas.  Exercicios.

aula 16-- 29 abril (4ª)  turno 1

Resolução de exercícios

Marcar aula de exercícios.

30 de Abril ---- TESTE 1

4 de Maio ---- data alternativa

1 Maio-feriado

aula 17—4 Maio (2ª) turno 1 e 5 Maio 3ª (turno 2)

Cap.4: Aproximação de funções.
4.1 Interpolação polinomial: a fórmula de Lagrange. Exemplo de aplicação.

Aula 18 --6 Maio (4ª) e 8 Maio (6ª)

Fórmula de Newton com diferenças divididas.
 Exemplo.

.

Aula 19 – 11 Maio (2ª) turno 1 e 12 (3ª)

Relação entre diferenças divididas e derivadas. Fórmula do erro de interpolação.
Interpolação por polinómios de grau elevado: o exemplo de Runge



aula 20-- 13 Maio (4ª) e 15 Maio (6ª)

4.2 O método dos mínimos quadrados: aproximação de dados discretos. Resolução de um exemplo:
obtenção da recta dos minimos quadrados pela definição directa de minimização da norma do desvio (sistema de estacionaridade).
O sistema de equações normais no caso geral (discreto), em termos de produtos internos. Exemplos


aula 21-- 18 de Maio  (2ª) e 19
Cap.5 : Integração numérica.
Introdução: fórmulas de quadratura de tipo interpolatório.
Fórmulas de Newton-Cotes:  a regra dos trapézios e sua fórmula de erro.  Exemplo. Introdução à regra dos trapézios composta.

aula 21 --  20 de Maio (4ª) e 22 de Maio (6ª)não se efectua

A regra dos trapézios composta e respectiva fórmula de erro. Exemplos.

aula 22--25 de Maio (2ª) e 26 (3ª)

A regra de Simpson simples e composta. Fórmulas de erro e exemplos de aplicação.

aula 23-- 27 de Maio (4ª) e 29 (6ª)
Grau de precisão duma regra de quadratura. O método dos coeficientes indeterminados.

aula 24—1 de Junho (2ª) e 2

Problemas de valor inicial: alguns exemplos. Resultado de existência e unicidade de solução.
O método de Euler. Erro local.

aula 25--  3 Junho (4ª) e 5 (6ª) (esta não se efectua)
Exemplos de aplicação do método de Euler. Fórmula de erro global e definição de ordem.

aula 26--  8 Junho (2ª) e 9 Junho ( 3ª)
O método de Taylor de ordem dois. Exemplos de métodos de Runge-Kutta.

aula 27-- 15  e 16 de Junho


dia 17 --- TESTE 2