(*  ANO 2007/2008   1º teste de MC para LEE e LCERC,  versão a 
               RESOLUÇÃO               *)
(* QUESTÃO 1 

  a) Seja f[x_]=Exp[x]-(x+2.)^2, com um unico zero z ∈ I= [3,4]
 Qual a funcao iteradora do metodo de Newton ?   Prove que se x_0 ∈ I= [3,4] fica assegurada a convergencia do metodo para z        *)

f[x_]:=Exp[x]-(x+2.)^2

(* A funcao iteradora do metodo de NEWTON   e´ g2newt  dada por:  *)
g2newt[x_]:=x-f[x]/f'[x]
g2newt[x]

(* Verifiquemos as condições do Criterio 1 de convergencia do metodo de Newton no intervalo I=[3,4]  *)

(* f é de Classe C^2(I): f, f'' são continuas em I     *)

f'[x]

f''[x]

(* 2. tem-se f(3)*f(4) <  0  *)

f[3.]

f[4.]

(* 2. verificar se f'(x)≠ 0  para todo x  ϵ I *)

(* Nos extremos é ≠ 0:     *)
f'[3]

f'[4]

(* Analisemos  melhor  *)

f'''[x]

(*  Conclusões: f'''[x] >0 logo f''(x) crescente e, por ser >0 nos extremos, tambem positiva em I *)
(* Entao f' monotona crescente. Sendo   positiva nos extremos, tb o e' em I, logo verifica 2. *)

(* 3.  f''(x) não muda de sinal em I. Com efeito, ja´vimos que f''(x) >0 em I *)

(* 4. Verifica-se:   |f[3]/f'[3]| < 4-3  e  |f[4]/f'[4]| < 4-3      *)

f[3]/f'[3]

f[4]/f'[4]

(*    Concl. finais: A eq.
f(x)=0 tem uma unica raiz z ϵ I=[3,4] e o metodo de Newton converge para z qualquer que seja x_0ϵ I *)

(*   b)   Seja       *)
g[x_]:=2Log[x+2]

(*  b)  i. Prove que a raiz acima  z e´ ponto fixo de de g    *)
(* Tem-se: f(z) = 0 ou seja: exp(z) - (z+2)^2 =0  o que implica, visto z≠-2,  z = ln (z+2)^2;  logo,temos 
z = 2 ln(z+2) = g(z) , ou seja, z e' ponto fixo de g  *)

   (* vizualizacao grafica  (nao se pedia)   *)

Plot[{x,f[x],g[x]},{x,0,4}]

(*   Prove ainda, recorrendo ao teorema do ponto fixo, que a sucessao gerada por g converge para z,  qualquer que seja a aprox. inicial  x_0ϵ I=[3,4]       *)

(* verificacao das condicoes do teorema do ponto fixo:  *)
          (* 1.  g, g' continuas em I   (ja' que x > -2)         *)

g[x]
g'[x]

(* 2.  g(I) C I          *)

(* vejamos se as imagens dos extremos ∈ I  *)

g[3.]

g[4.]

g'[x]

(* g' >0  para todo o x ∈ I, logo g monotona crescente; Como, alem disso, as imagens dos extremos pertencem a I, entao verifica-se  2.   *)

(*  3. max_I |g'(x) | = L <1       *)

g''[x]

(* g'' <0  logo  g' decrescente (e e' positiva); entao max |g'(x) |= max g'(x) = 
max {g'(3),g'(4)} = g'(3)=0.4 <1. Tem-se os valores:       *)

g'[3.]

g'[4.]

L=g'[3.]

(* Conclusões: g tem um unico ponto fixo em I (que se viu ser a raiz z da eq. f(x)=0) e a sucessao gerada por g converge para ese ponto fixo z, qualquer que seja a aprox. inicial para z, escolhida em I  *)

(*  b)ii  Ordem de convergência do método associado a g?   Justifique.   *)   

(* Vimos que g'[x] >0 para todo o x em I. Logo g1'[z] diferente de zero. Provou-se  para os métodos do ponto fixo  
  lim | z-  x_n+1|/ |z-x_n|  =  |g'(z)|.  
Então, se g'(z) ≠ 0,  atendendo a definicao de ordem de converg. , te-se que  a ordem é 1
(converg linear) e o coeficiente assimptótico  K_∞ = |g'(z)|   *)

(*             Compare este m'etodo e o de Newton no que respeita à ordem e rapidez de convergencia. Justifique *)

(* O método de Newton e´um metodo do ponto fixo. A funcao iteradora do método de
 Newton e´dada por: g2newt[x_]:=x-f[x]/f'[x] *)
(* Sendo f'(x)≠ 0, podemos derivar g2newt(x) e substituir x por z para obter : g2newt'[z]= 0  *)

(* Ou seja, atendendo à teoria dos  metodos do ponto fixo,  o m'etodo de Newton, quando converge, tem convergencia pelo menos quadratica. Mais precisamente,  
 calculando   g2newt''(x)  (comparar pagina 49  da Sebenta),  podemos concluir que
  g2newt''(z) = f''(z)/f'(z). Entao, sendo neste caso  f''(z) ≠ 0, vem que   g2newt''(z) ≠0  e a ordem e' exactamente 2     *)

(* Comparação quanto à rapidez:  uma ordem maior conduz a uma maior rapidez de convergencia, 
resulta da definicao de ordem p:  |z-x_m+1| ~ K_∞ |z- x_m|^p  Quanto maior p e menor K_∞
mais depressa os erros tendem para zero    *)