Sumário

Aula 1 (14/09/09): Funcionamento da cadeira. Espaços topológicos: introdução/revisão.

Aula 2 (15/09/09): Continuação e exemplos. Variedades topológicas. Exemplos: toro, garrafa de Klein, espaço projectivo de dimensão 2. Variedades topológicas com bordo. Exemplos: banda de Mobius e cilindro. Colagens com bandas de Mobius. Soma conexa. Enunciado do teorema de classificação de superfícies.

Aula 3 (17/09/09): Variedades diferenciais. Parametrizações, cartas locais, mudanças de coordenadas, atlas, atlas maximais. Exemplos.

Aula 4 (21/09/09): Continuação. Aplicações diferenciáveis entre variedades. Exemplos. Difeomorfismos. Exemplos.

Aula 5 (22/09/09): Revisão de espaço tangente num ponto a uma variedade mergulhada em R^n. Vectores tangentes como operadores de derivação. Definição de vector tangente num ponto a uma variedade diferencial. Base do espaço tangente num ponto associada a uma escolha de coordenadas locais. Transformação de coordenadas. Exemplos. O fibrado tangente a uma variedade diferencial. Aplicação tangente. Exemplos.

Aula 6 (24/09/09): Imersões, submersões e mergulhos. Forma "normal" local de uma imersão e de uma submersão.

Aula 7 (28/09/09): Aula prática (ficha 1).

Aula 8 (29/10/09): Continuação. Teorema do valor regular. Pontos críticos. Exemplos. Campos vectoriais. O comutador de dois campos vectoriais. Propriedades. Exemplos. Relação entre associatividade e identidade de Jacobi. Regra de Leibniz.

Aula 9 (01/10/09): Álgebras de Lie. Exemplos. Definição de curva integral de um campo vectorial. Existência e unicidade de curvas integrais de um campo vectorial. Fluxos. Exemplos. Grupos a 1 parâmetro de difeomorfismos de M. Campos completos.

Aula 10 (06/10/09): Exemplos de campos completos. Campos vectoriais com suporte compacto são completos. Derivada de Lie de uma função ao longo de um campo vectorial.

Aula 11 (08/10/09): Igualdade entre a derivada de Lie de Y ao longo de X e [X,Y]. L_X como derivação da álgebra de Lie de campos vectoriais. Relação entre o comutador de campos vectoriais e a operação de push-forward. Difeomorfismos de M preservam X sse preservam o fluxo de X. Dois campos vectoriais comutam sse os seus fluxos comutam.

Aula 12 (12/10/09): Aula prática (ficha 2).

Aula 13 (13/10/09): Grupos de Lie. Exemplos: grupo linear geral e linear especial, U(1), grupo ortogonal. Campos invariantes à esquerda.

Aula 14 (15/10/09): Continuação. Campos invariantes à esquerda. Exemplos. Álgebra de Lie de um grupo de Lie. Exemplos. Trivialidade do fibrado tangente de um grupo de Lie.

Aula 15 (19/10/09): Aplicação exponencial. Acções de grupo de Lie em variedades. Exemplos. Acções próprias. Exemplos. Condição suficiente para o espaço quociente ser Hausdorff.

Aula 16 (20/10/09): Acções próprias e livres de grupos de Lie em variedades têm espaços quociente que são variedades. Exemplos. Revestimentos. Exemplos. Enunciado do teorema de Lie.

Aula 17 (22/10/09): Orientações. Uma variedade conexa tem duas orientacções. Variedades diferenciais com bordo. Orientação induzida no bordo. Tensores-k num espaço vectorial. Produto tensorial.

Aula 18 (26/10/09): Aula prática (ficha 3).

Aula 19 (27/10/09): Tensores alternantes. A operacao Alt. Produto exterior e base do espaço dos tensores-k alternantes. Exemplos. Pull-back de covectores-k. Campos tensoriais diferenciáveis em variedades.

Aula 20 (29/10/09): Formas diferenciais em variedades. Propriedades. Pull-back e cálculo do pull-back. Derivada exterior e propriedades.

Aula 21 (02/11/09): Partições da unidade. Integrais de formas diferenciais em variedades orientadas. Exemplos. Teorema de Stokes.

Aula 22 (03/11/09): Formas de volume. Métricas e variedades Riemannianas. Métricas induzidas por uma imersão. Métricas invariantes à esquerda num grupo de Lie.

Aula 23 (05/11/09): Comprimento de uma curva numa variedade Riemanniana. O gradiente. Conexões afins: introdução, definição, símbolos de Christoffel.

Aula 24 (09/11/09): Continuação. Campo vectorial paralelo ao longo de uma curva. Geodésicas. Exemplo. Transporte paralelo. Torsões e conexão simétrica.

Aula 25 (10/11/09): Teorema e conexão de Levi-Civita. Fórmula de Koszul. Exemplos.

Aula 26 (12/11/09): Aula prática (ficha 4).

Aula 27 (16/11/09): Ficha 4: continuação. Propriedade minimizadora da geodésica. A aplicação exponencial.

Aula 28 (17/11/09): Variedades geodesicamente completas. Curvatura. Tensor de Riemann-Christoffel.

Aula 29 (19/11/09): Continuação. Primeira identidade de Bianchi. Tensor de curvatura. Simetrias do tensor de curvatura.

Aula 30 (23/11/09): Curvatura seccional. Isotropia. O tensor da curvatura de uma variedade isotrópica. Tensor de Ricci. Curvatura escalar.

Aula 31 (24/11/09): Referenciais móveis de Cartan. Formas de conexão. Formas de curvatura. Equações de estrutura de Cartan para a conexão de Levi-Civita. Exemplos.

Aula 32 (26/11/09): Aula prática (ficha 5).

Aula 33 (30/11/09): Aula prática (T2R 08/09).

Aula 34 (03/12/09): Relação entre a forma de curvatura e a curvatura seccional para superfícies. Fórmula de transformação das formas de conexão sob mudança de referencial móvel, caso de dimensão 2.

Aula 35 (07/12/09): Continuação. Curvatura geodésica. Exemplos. Introdução ao teorema de Gauss-Bonnet.

Aula 36 (10/12/09): Teorema de Gauss-Bonnet. Exemplos.

Aula 37 (14/12/09): Variedades Rienannianas de curvatura constante. Teorema de Killing-Hopf. Exemplos.

Aula 38 (15/12/09): Imersões isométricas. Segunda forma fundamental. Teorema egregium de Gauss.

Aula 39 (17/12/09): Aula prática (ficha 6).