Sumário Aulas Teóricas

Aula 1 (25/02/10): Funcionamento da disciplina. Propriedades algébricas dos complexos. Representação geométrica de números complexos.

Aula 2 (26/02/10): Continuação. Módulo dum complexo. Coordenadas polares. Fórmula de De Moivre. Raízes complexas.

Aula 3 (01/03/10): Módulo e conjugado dum complexo e suas propriedades. O módulo da diferença de dois complexos como distância. Funções complexas: polinómios e raízes. Fórmula de Euler.

Aula 4 (02/03/10): Definição da exponencial complexa e suas propriedades algébricas e geométricas. Definição das funções hiperbólicas e trigonométricas complexas. Exemplos.

Aula 5 (04/03/10): Definição do logaritmo complexo, como inversa da exponencial, e suas propriedades. Ramo principal. Definição de potências complexas. Funções trigonométricas complexas inversas. Exemplos.

Aula 6 (05/03/10): Sucessões de números complexos, convergência. Limites infinitos, esfera de Riemann e projecção estereográfica.

Aula 7 (08/03/10): Continuidade de funções complexas, e suas propriedades. Exemplos. Definição da derivada de funções complexas. Propriedades da derivada: derivada de soma, produto, quociente e composta. Exemplos.

Aula 8 (09/03/10): Continuidade de funções diferenciáveis. Teorema e equações de Cauchy-Riemann. Exemplos.

Aula 9 (11/03/10): Continuação. Diferenciação das funções elementares. Operadores de derivação complexa. Funções harmónicas conjugadas.

Aula 10 (12/03/10): Teorema da derivação da função inversa complexa. Aplicação ao cálculo da derivada do logaritmo. Definição de caminhos e de curvas.

Aula 11 (15/03/10): Curvas regulares e suas parametrizações. Definição do integral complexo. Propriedades elementares do integral complexo.

Aula 12 (16/03/10): Exemplos de cálculo de integrais pela definição. Existência de primitivas de funções diferenciáveis em regiões simplesmente conexas. Teorema de Cauchy.

Aula 13 (18/03/10): Exemplos de aplicação do teorema de Cauchy.

Aula 14 (19/03/10): Fórmulas integrais de Cauchy. Exemplos. Teorema do valor médio. Desigualdades de Cauchy.

Aula 15 (22/03/10): Teorema de Liouville. Teorema fundamental de álgebra. Séries de números complexos. Definição de série convergente. Exemplos. Séries absolutamente convergentes. Séries numéricas de termos positivos. Critério geral de comparação. Critério da razão. Critério de d'Alembert.

Aula 16 (23/03/10): Critério da raiz. Critério de Cauchy. Critério de Dirichlet. Início do estudo de séries de funções. Convergência uniforme para séries de funções.

Aula 17 (25/03/10): Teorema de Weierstrass. Propriedades das séries de funções.

Aula 18 (26/03/10): Séries de potências. Raio de convergência. Teorema de Cauchy-Hadamard.

Aula 19 (29/03/10): Funções analíticas. Séries de Taylor e de MacLaurin. Teorema da série de Taylor.

Aula 20 (30/03/10): Teorema da unicidade da série de Taylor. Exemplos. Séries de MacLaurin da exponencial, seno e coseno. Teorema sobre analiticidade de funções holomorfas.

Aula 21 (08/04/10): Séries de Laurent. Parte regular e parte principal.

Aula 22 (09/04/10): Exemplos de séries de Laurent.

Aula 23 (12/04/10): Classificação de singularidades isoladas: removíveis, pólos ou essenciais. Teorema dos resíduos.

Aula 24 (13/04/10): Teorema dos resíduos: exemplos.

Aula 25 (15/04/10): Teorema dos resíduos: mais exemplos. Início do estudo de equações diferenciais. Classificação de equações.

Aula 26 (16/04/10): Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem lineares escalares, homogéneas e não homogéneas. Exemplos.

Aula 27 (19/04/10): Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem escalares separáveis. Análise de domínios e comportamentos qualitativos de soluções de algumas equações não lineares.

Aula 28 (20/04/10): Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem escalares exactas, ou redutíveis a exactas, por multiplicação de factor integrante. Exemplos.

Aula 29 (22/04/10): Teorema de Picard-Lindelof: existência e unicidade de soluções para equações diferenciais ordinárias e sistemas de primeira ordem. Exemplos.

Aula 30 (23/04/10): Teorema de Picard-Lindelof: continuação. Prolongamento de soluções a intervalos máximos de definição.

Aula 31 (26/04/10): Demonstração do teorema de Picard-Lindelof. Revisão do primeiro teste.

Aula 32 (27/04/10): Início do estudo dos sistemas lineares de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Exemplos. Definição da exponencial de uma matriz.

Aula 33 (29/04/10): Espaço vectorial de soluções do problema homogéneo. Exemplos.

Aula 34 (30/04/10): Continuação. Soluções do tipo e^{lambda t} V, com lambda valor próprio e V vector próprio da matriz do sistema.

Aula 35 (03/05/10): Continuação da discussão de sistemas lineares homogéneos com matrizes diagonalizáveis. Mudança de base. Valores próprios reais ou complexos. Soluções complexas de sistemas homogéneos e soluções reais obtidas a partir delas.

Aula 36 (04/05/10): Sistemas lineares homogéneos com matrizes não diagonalizáveis. Formas canónicas de Jordan para matrizes não diagonalizáveis.

Aula 37 (06/05/10): Aplicação de formas canónicas de Jordan para o cálculo de exponenciais matriciais nos casos não diagonalizáveis. Exemplos.

Aula 38 (07/05/10): Sistemas lineares não homogéneos com coeficientes constantes e fórmula da variação das constantes. Problema de valores iniciais. Exemplos.

Aula 39 (10/05/10): Equações diferenciais escalares de ordem superior à primeira. Problema de valores iniciais. Equação linear de ordem n homogénea e espaço de soluções de dimensão n. Obtenção de bases de soluções para equações homogéneas de ordem n, com coeficientes constantes, por factorização do polinómio característico. Exemplos.

Aula 40 (11/05/10): Continuação. Mais exemplos. Aplicação do método dos aniquiladores para resolução de equações diferenciais ordinárias lineares, de ordem superior, com coeficientes constantes e não homogéneas. Exemplos.

Aula 41 (13/05/10): Continuação. Mais exemplos baseados no método dos aniquiladores.

Aula 42 (14/05/10): Definição da transformada de Laplace. Inversão da transformada de Laplace. Exemplos.

Aula 43 (17/05/10): Aplicação da transformada de Laplace à resolução de equações diferenciais ordinárias de coeficientes constantes. Exemplos.

Aula 44 (18/05/10): Matriz Wronskiana. Aplicação da fórmula da variação das constantes para resolução de problemas gerais para equações lineares de ordem superior, não homogéneas. Exemplos.

Aula 45 (20/05/10): Séries de Fourier.

Aula 46 (21/05/10): Continuação. Representação de funções periódicas na forma de senos e cosenos. Exemplos. Teorema de convergência pontual de séries de Fourier, para funções seccionalmente C1. Unicidade e ortogonalidade. Fórmula de Parseval.

Aula 47 (24/05/10): Séries de senos e cosenos para funções definidas em meio período. Exemplos.

Aula 48 (25/05/10): Início do estudo de equações diferenciais parciais. A equação do calor de Fourier. Condições iniciais e de fronteira. Resolução da equação do calor pelo método de separação de variáveis.

Aula 49 (27/05/10): Continuação da resolução da equação do calor. Dados iniciais como uma série de senos.

Aula 50 (28/05/10): A equação de Laplace. A equação das ondas.

Aula 51 (31/05/10): Continuação do estudo da equação das ondas. Exercícios e exemplos de equações diferenciais parciais e séries de Fourier.

Aula 52 (01/06/10): Exercícios e exemplos de equações diferenciais parciais e séries de Fourier.

Aula 53 (04/06/10): Exercícios e exemplos de equações diferenciais.

Aula 54 (07/06/10): Exercícios e exemplos de equações diferenciais.

Aula 55 (08/06/10): Exercícios de análise complexa.