Licenciatura em Matemática Aplicada e
Computação
Informações
Avaliação
Programa
Bibliografia
Notas de apoio
Horário
de
dúvidas
Exercícios Pautas
Informações
| Número |
Av. Contínua | Exame |
N. Final |
| 50898 |
16 |
NA |
|
| 57664 |
NA |
||
| 58437 |
NA |
||
| 58500 |
NA |
||
| 62667 |
REP |
||
| 64811 |
13 |
9.0 |
11 |
| 64940 |
NA |
||
| 67154 |
NA |
||
| 67160 |
11 |
12.3 |
12 |
| 67162 |
16.5 |
|
|
| 67163 |
NA |
||
| 67920 |
18 |
13.5 |
15 |
| 67926 |
19 |
13.7 |
16 |
| 68522 |
NA |
||
| 69318 |
20 |
19.2 |
20 |
| 73389 |
NA |
||
| 79270 |
10 |
NA |
|
| 79316 |
10 |
NA |
|
| 79328 |
NA |
02/01 - Esclarecimento sobre a Avaliação
Contínua: tal como foi explicado nas aulas, as classificações
atribuídas aos trabalhos de casa são de carácter mais qualitativo que
quantitativo; por exemplo, uma classificação de 5 num trabalho corresponde a uma nota no intervalo 17-20.
Assim, a classificação final de Avaliação Contínua não corresponde a uma média aritmética pura daquelas classificações, normalizada para uma escala 0-20 mas a uma apreciação global e mais detalhada do trabalho realizado. Estou evidentemente disponível para esclarecer quaisquer dúvidas sobre essas classificações e, caso isso se justifique, as corrigir.
Estarei no meu gabinete, nos períodos 10.00-12.30 e 14.30-17.00, nos dias 03/01, 06/01 e 07/01.
02/01 - Conforme explicado em mensagem
anterior, e de acordo com a discussão sobre o assunto na aula,
realizaremos o exame não na data oficial mas no dia 08/01, às 14.00, na
sala 3.31 (piso 3 do Dep de Matemática).
30/12 - Estou ainda a aguardar a resposta de vários alunos à mensagem enviada sobre a data e hora do exame. Agradeço que a enviem o mais brevemente possível, uma vez que disso depende a realização do exame nas condições combinadas.
Estarei disponível para esclarecimentos sobre a matéria ou sobre a avaliação a partir da próxima 5ª feira, dia 2 de Janeiro.
Os meus desejos de um excelente 2014 para
todos.
30/12 - Os resultados da Avaliação Contínua são os seguintes:
| Número |
Ficha 1 |
Ficha 2 |
Ficha 3 |
Ficha 4 |
Ficha 5 |
Ficha 6 |
Ficha 7 |
Av. Cont. |
| 50898 |
4.5 |
3 |
4 |
4 |
4.5 |
5 |
5 |
16 |
| 57664 |
||||||||
| 58437 |
2.5 |
2.5 |
||||||
| 58500 |
5 |
|||||||
| 62667 |
2 |
2 |
2 |
|||||
| 64811 |
2.5 |
2.5 |
3.5 |
4 |
3.5 |
2.5 |
3 |
13 |
| 64940 |
||||||||
| 67154 |
||||||||
| 67160 |
2.5 |
2.5 |
2 |
4.5 |
9 |
|||
| 67163 |
4.5 |
3.5 |
3 |
|||||
| 67920 |
4.5 |
4.5 |
5 |
5 |
5 |
4.5 |
5 |
18 |
| 67926 |
4.5 |
4.5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
19 |
| 68522 |
2 |
2.5 |
3 |
|||||
| 69318 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
5 |
20 |
| 73389 |
||||||||
| 79270 |
3 |
3.5 |
4 |
4 |
10 |
|||
| 79316 |
2.5 |
2.5 |
3 |
3 |
4.5 |
10 |
||
| 79328 |
Não foi atribuída classificação aos alunos que tenham entregue
menos de metade dos trabalhos.
13/12 - Está publicada uma Ficha com notas sobre o Teorema de
Grobman-Hartman. Devem ser entregues até à aula de 20/12, as resoluções
do exercício 0.21 e mais outro à escolha. As notas sobre estabilidade
de órbitas periódicas foram ligeiramente actualizadas.
06/12 - Está publicada uma Ficha que inclui notas e e
exercícios relacionados com a estabilidade órbitas periódicas. Algumas
das demonstrações estão esboçadas ou indicadas como exercício. Deve ser
entregue como trabalho de casa, até à próxima 6ª feira, 13/12, a
resolução de 3 exercícios dessa Ficha. Como habitual, este é apenas um
mínimo. Esta Ficha, tal como outras no mesmo estilo que serão
publicadas na página, não está numa forma final. A publicação de novas
versões actualizadas será anunciada.
28/11 - Não poderei estar presente para o horário de atendimento para dúvidas de hoje à tarde. As minhas desculpas.
15/11 - Uma gralha no texto de onde foi tirado o problema 4 da Ficha 5, e que não identifiquei no momento, torna o problema impossível. Para efeitos de avaliação, esse problema, cujo enunciado já corrigi, pode ser entregue na semana que vem.
14/11 - No problema 2, alínea b) da Ficha 5, deve ser
considerado b<1/2, e não menor ou igual.
Em alternativa, para o caso b=1/2, considerar a função
L(x,y)=x^2-x y+y^2.
09/11 - Está publicada a Ficha 5 de Problemas. Devem ser entregues até 6ª feira, 15/11, pelo menos dois dos problemas.
07/11 - Conforme anunciado na última aula, amanhã, 08/11, não
haverá aula, por adesão à greve. Até ao fim de semana será publicada
uma nova Ficha de problemas, parte dos quais deverão ser entregues na
aula de 15/11.
24/10 - Havia uma gralha no problema 7 da Ficha 4, que foi
corrigida. Além disso, a sugestão foi desenvolvida.
23/10 - Na próxima aula, sexta-feira, 25 de Outubro, serão combinadas as datas de exame. Para facilitar a discussão, apresento desde já uma proposta de datas. Agradeço que me comuniquem, se possível antes de sexta, quaisquer incompatibilidades com outras avaliações ou inconvenientes desta proposta.
Proposta de datas de exame: 10/01 e 29/01 (exame de recurso).22/10 - Foi corrigida uma gralha na alínea b) do problema 6 da
Ficha 4.
17/10 - Já está disponível a quarta Ficha de problemas. Deverão ser entregues até 25/10 as resoluções de pelo menos 5 deles.
13/10 - Foi corrigida uma gralha no problema 6 da Ficha 3.
11/10 - Já está disponível a terceira Ficha de problemas.
Deverão ser entregues, até à próxima sexta-feira, 18/10, as resoluções
de três alíneas do problema 1 e três dos problemas 2 a 6, pelo menos.
08/10 - Conforme combinado na aula da passada sexta-feira, a aula de substituição terá lugar amanhã, 4ª feira 09/10, das 08.30 às 10.00, na sala V1.23.
03/10 - Por motivos inesperados, não poderei estar hoje à tarde no gabinete para esclarecer dúvidas. Os mesmos motivos impediram-me de preparar a terceira Ficha de problemas, que fica adiada para o início da próxima semana. As minhas desculpas.
27/09 - Foram emendadas pequenas gralhas nas
Fichas de problemas.
25/09 - Foi emendada (finalmente!) a gralha na pergunta 4 c) da Ficha 1. O meu agradecimento pelos avisos e as respectivas desculpas pelo atraso na emenda.
25/09 - A informação sobre avaliação foi actualizada, de modo a clarificar o funcionamento da avalioação contínua.
25/09 - Está publicada a segunda Ficha de
problemas.
18/09 - Está disponível a primeira Ficha de
problemas.
13/09 - As aulas terão início na próxima 2ª feira, 16/09, às 09.00 horas na sala V1.07. Nessa aula será feita a apresentação do curso e serão discutidas quaisquer alterações ao horário programado que se revelem necessárias, pelo que é particularmente importante a presença de todos os alunos que pretendam frequentar as aulas. A apresentação da matéria começará já nesta aula.
13/09 - Esta página funcionará como meio
principal
de comunicação de informação sobre o curso, incluindo a divulgação de
textos de apoio, Fichas de problemas, etc. Brevemente será publicado um
Plano das aulas.
Apresentação
As
Equações Diferenciais estiveram na origem da criação do Cálculo
Diferencial e foram desde esse momento uma das ferramentas fundamentais
para a modelação matemática dos fenómenos físicos e outros.
A investigação de problemas mais complexos tornou claro que, mais do que obter expressões analíticas para as soluções das equações, era necessário obter resultados sobre as suas propriedades, o que originou o desenvolvimento de uma nova disciplina: a Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais, que pode ainda ser vista como uma parte da Teoria dos Sistemas Dinâmicos.
Com esse desenvolvimento surgiram ou reforçaram-se as ligações entre as Equações Diferenciais e praticamente todas as outras áreas da Matemática.
Neste
curso serão estudados alguns dos aspectos básicos e mais importantes da
Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais Ordinárias.
Segue-se
o programa oficial do curso. Brevemente será publicado um plano das
aulas.
Sistemas dinâmicos e
equações diferenciais: teorema de ponto fixo para contracções em
espaços métricos completos; existência, unicidade, regularidade e
extensão de soluções; dependência contínua em relação às condições
iniciais; teorema de Ascoli?Arzelá. Teoria geométrica: retratos de
fase; órbitas homoclínicas e heteroclínicas; órbitas periódicas;
conjuntos invariantes; secções transversais; conjuntos limite; teorema
da curva de Jordan; teorema de Poincaré-Bendixson. Equações lineares:
retratos de fase; equação linear variacional; coeficientes periódicos;
sistemas atractores, repulsores e hiperbólicos; conjugação linear,
topológica e diferenciável; equações lineares com coeficientes
periódicos e matrizes de monodromia; multiplicadores e expoentes
característicos. Hiperbolicidade: pontos fixos hiperbólicos e equação
linear variacional; teorema de Grobman-Hartman: conjugação topológica
para difeomorfismos e campos vectoriais. Estabilidade: estabilidade e
estabilidade assimptótica no sentido de Lyapunov; funções de Lyapunov e
funções de Lyapunov estritas; critérios de estabilidade e
instabilidade; convergência exponencial; sistemas mecânicos; expoentes
característicos e estabilidade. Teoria do índice: teoria do índice para
campos vectoriais no plano; teorema do ponto fixo de Brouwer; teorema
fundamental da álgebra e equações diferenciais no plano complexo;
índice de pontos críticos isolados. Teoria de bifurcação: diagramas de
bifurcação; equações homológicas e formas normais; ressonâncias, formas
normais e teorema de Poincaré; estabilidade estrutural de equações
diferenciais hiperbólicas; teorema da variedade central; variedades
centrais aproximadas; estabilidade de pontos críticos; variedades
estáveis e instáveis aproximadas.
Luís Barreira e Clàudia Valls, Equações Diferenciais: Teoria Qualitativa, IST Press, 2010.
Jorge Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides, IMPA, 1979.
Morris W. Hirsch e Stephen Smale, Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra, Academic Press, Inc., 1974.
Fernando P. da Costa, Equações Diferenciais Ordinárias, IST Press, 1998.
A. Bivar Weinholtz, Equações Diferenciais, uma Introdução,
Universidade de Lisboa, Fac. de Ciências, 1997.
Avaliação
A avaliação de conhecimentos nesta cadeira terá uma componente de avaliação contínua nas aulas práticas, complementada com Exame Final.