1ª Aula (19 de Fevereiro de 2003)
Apresentação. Introdução histórica aos números complexos.
2ª Aula (21 de Fevereiro de 2003)
Números complexos. Representação polar. Fórmula de De Moivre. Fórmulas de
Euler.
Acetato
2.1; Acetato 2.2; Acetato 2.3; Acetato
2.4
3ª Aula (24 de Fevereiro de 2003)
Topologia do plano complexo. Exponencial complexa. Funções complexas de variável
complexa. Parte real e parte imaginária. Continuidade. Definição de
diferenciabilidade no sentido complexo.
4ª Aula (26 de Fevereiro de 2003)
Diferenciabilidade de funções de variável complexa. Equações de
Cauchy-Riemann. Condições necessárias e suficientes para a diferenciabilidade
pontual.
Acetato 4.1; Acetato 4.2; Acetato 4.3
5ª Aula (28 de Fevereiro de 2003)
Funções analítica (ou holomorfas); definição. Funções trigonométricas e
hiperbólicas. Estudo gráfico da função exponencial complexa.
6ª Aula (5 de Março de 2003)
Logaritmos. Exponenciação com base e expoente complexos. Funções
trigonométricas inversas.
Acetato
6.1; Acetato 6.2; Acetato 6.3; Acetato
6.4
7ª Aula (7 de Março de 2003)
Integração de funções complexas de variável real. Definição de integral de
caminho de funções complexas de variável complexa.
Acetato
7.1; Acetato 7.2; Acetato 7.3; Acetato
7.4
8ª Aula (10 de Março de 2003)
Propriedades do integral
de caminho de funções complexas de variável complexa. Integrais de funções
derivadas. Teorema de Cauchy.
Acetato
8.1; Acetato 8.2; Acetato 8.3a; Acetato
8.3b
9ª Aula (12 de
Março de 2003)
Fórmulas
integrais de Cauchy. Teorema de Morera.
Acetato
9.1; Acetato 9.2; Acetato 9.3; Acetato
9.4
10ª Aula (14 de
Março de 2003)
Funções
harmónicas e suas conjugadas. Convergência uniforme de séries de funções.
11ª Aula (17 de
Março de 2003)
Séries de
potências. Série de Taylor.
Acetato
11.1; Acetato 11.2; Acetato 11.3; Acetato
11.4
12ª Aula (19 de
Março de 2003)
Séries de
Laurent. Teorema dos Resíduos.
Acetato
12.1; Acetato 12.2; Acetato 12.3
13ª Aula (21 de
Março de 2003)
Classificação de singularidades
isoladas. Cálculo de Resíduos em pólos.
Acetato
13.1; Acetato 13.2; Acetato 13.3; Acetato
13.4
14ª Aula (24 de
Março de 2003)
Aplicações do
Teorema dos Resíduos: integrais de funções trigonométricas; integrais de
funções racionais. Exemplos.
Acetato
14.1; Acetato 14.2; Acetato 14.3
15ª Aula (26 de
Março de 2003)
Aplicações do
Teorema dos Resíduos: Lema de Jordan. Factorização de polinómios. Decomposição
de funções racionais em fracções simples.
16ª Aula (28 de
Março de 2003)
Introdução às
equações diferenciais.
17ª Aula (31 de
Março de 2003)
Equações
lineares. Equações separáveis.
Acetato
17.1; Acetato 17.2; Acetato 17.3; Acetato
17.4
18ª Aula ( 2 de
Abril de 2003)
Exemplos.
Intervalos máximos de definição de soluções e explosões.
19ª Aula (4 de
Abril de 2003)
Equações exactas.
Equações redutíveis a exactas; factores de integração.
20ª Aula (7 de
Abril de 2003)
Equações
redutíveis a exactas; factores de integração dependentes de uma só variável.
21ª Aula (9 de
Abril de 2003)
Mudanças de
variáveis. Equações de Bernoulli. Equações homogéneas. Campos de direcções.
22ª Aula (11 de
Abril de 2003)
Método de Euler.
Problema da existência e unicidade de soluções; exemplos. Teorema de
Picard-Lindelöf. Funções localmente lipschitzianas.
23ª Aula (14 de Abril
de 2003)
Teorema de
Picard-Lindelöf; existência e unicidade de soluções. Extensão de soluções a
intervalos máximos de definição. Comparação de soluções.
Acetato
23.1; Acetato 23.2; Acetato 23.3
24ª Aula (16 de
Abril de 2003)
EDO’s de 1ª ordem
vectoriais. Introdução aos sistemas de equações diferenciais lineares.
Exponencial de uma matriz. Funções matriciais.
Acetato
24.1; Acetato 24.2; Acetato 24.3; Acetato
24.4
25ª Aula (28 de Abril
de 2003)
Sistemas de
equações lineares homogéneos: Solução geral; soluções próprias; soluções com
valores complexos.
Acetato
25.1; Acetato 25.2; Acetato 25.3
26ª Aula (30 de
Abril de 2003)
Exponenciais de
matrizes diagonalizáveis. Exemplos. Blocos Jordan. Matrizes na forma canónica
de Jordan.
Acetato
26.1; Acetato 26.2; Acetato 26.3; Acetato
26.4
27ª Aula (2 de
Maio de 2003)
Exponencial de
matrizes semelhantes a matrizes na forma canónica de Jordan. Fórmula da
variação das constantes para sistemas de equações de 1ª ordem.
Acetato
27.1; Acetato 27.2; Acetato 27.3; Acetato
27.4
28ª Aula (5 de
Maio de 2003)
Equações
diferenciais de ordem n. Redução a um sistema de n equações de 1ª ordem. Equação
linear de coeficientes constantes. Matriz companheira. Polinómio
característico. Operadores diferenciais lineares de coeficientes constantes.
29ª Aula (7 de
Maio de 2003)
Solução da equação
linear homogénea de ordem n. Método dos coeficientes indeterminados.
30ª Aula (9 de
Maio de 2003)
Matriz
Wronskiana. Independência linear de funções. Fórmula da variação das constantes
para equações lineares escalares de ordem n e coeficientes constantes.
31ª Aula (12 de Maio de 2003)
Equações lineares
escalares de ordem n com coeficientes não constantes; matriz Wronskiana; Fórmula
da variação das constantes. Introdução à transformação de Laplace.
Acetato
30.1; Acetato 30.2; Acetato 30.3; Acetato
32.1
32ª Aula (14 de Maio de 2003)
Transformada de
Laplace; definição, propriedades e aplicações na resolução de equações
diferenciais. Transformada de Laplace de funções com descontinuidades por
saltos.
Acetato
32.1; Acetato 32.2; Acetato 32.3; Acetato
32.4
33ª Aula (16 de Maio de 2003)
Transformada de
Laplace de Impulsos. Métodos de redução de ordem. O pêndulo não linear.
Acetato
33.1; Acetato 33.2; Acetato 33.3
34ª Aula (19 de Maio de 2003)
A equação do
calor. Método da separação de variáveis. Condições fronteira de Dirichlet.
35ª Aula (21 de Maio de 2003)
A equação do
calor. Método da separação de variáveis. Condições fronteira de Neumann.
Condições fronteira periódicas.
36ª Aula (23 de Maio de 2003)
Séries de Fourier.
Convergência pontual. Séries de senos. Séries de cosenos.
Acetato 36.1; Acetato 36.2; Acetato 36.3
37ª Aula (26 de Maio de 2003)
Séries de Fourier
escritas na forma complexa. Convergência em média quadrática. Identidade de
Parseval. Estimativas sobre os coeficientes.
Acetato 37.1; Acetato 37.2; Acetato 37.3
38ª Aula (28 de Maio de 2003)
Equação do calor
não homogénea. Interpretação geométrica da difusão. Equação das ondas;
separação de variáveis.
39ª
Aula (30 de Maio de 2003)
Equação das
ondas. Sobreposição de harmónicos; modos de vibração. Solução de D’Alembert.
Propagação de ondas; reflexão com inversão na fronteira.
Acetato 39.1; Acetato 39.2; Acetato 39.3
40ª Aula (2 de Junho de 2003)
Equação de
Laplace. Relação com as funções analíticas no plano complexo; problema de
Dirichlet no círculo e em domínios transformados conformemente. Problema de
Dirichlet no rectângulo; separação de variáveis.
41ª Aula (4 de Junho de 2003)
Exemplos:
Separação de variáveis e séries de Fourier em dimensões superiores; uso do Teorema
dos Resíduos para o calculo dos coeficientes de Fourier.
42ª Aula (6 de Junho de 2003)
Resolução de
exercícios.
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