1º SEMESTRE
2002/2003
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PROGRAMA
PARTE I:
Integrais Múltiplos
- Semana 1 Introdução
aos integrais múltiplos. Funções em escada e integrais
de funções em escada. Definição e propriedades
de conjuntos de medida nula. Funções limite superior. Funções
integráveis e integral. Propriedades e exemplos.
- Semana
2 Teorema de Fubini. Cálculo de integrais.
- Semana 3 Teorema da transformação
de coordenadas de integração. Coordenadas polares, cilíndricas
e esféricas.
- Semana 4 Aplicação
ao cálculo de volumes, centróides, massas (cargas eléctricas),
centros de massa e momentos de inércia.
PARTE II: Curvas e Integrais
de linha
- Semana 5 Curvas e caminhos. Integral
de linha de um campo escalar, aplicações. Integral
de linha de um campo vectorial, aplicações.
- Semana 6 Conjuntos conexos por
arcos. Teorema fundamental do cálculo para integrais de linha.
Campos gradi- entes e campos potenciais; condições necessárias
e suficientes para que um campo vectorial seja gradiente; campos
fechados; cálculo de funções potenciais.
- Semana 7 Homotopia; invariância
de integrais de campos fechados sobre caminhos homotópicos, conjuntos
simplesmente conexos. Teorema de Green.
PARTE III:
Teoremas da Função Inversa
e Implícita
- Semana 8 Teorema da função
inversa. Teorema da função implícita.
PARTE IV: Variedades
Diferenciáveis
- Semana 9 Variedades diferenciáveis;
parametrizações; variedades como gráficos de funções
e como conjuntos de nível; variedades definidas por equações
cartesianas. Espaço tangente e espaço normal.
- Semana 10 Extremos condicionados;
método dos multiplicadores de Lagrange.
PARTE V: Integrais
em Variedades
- Semana 11 Integrais em variedades e
aplicações.
PARTE VI: Teoremas da Divergência
e de Stokes
- Semana 12 Orientabilidade de superfícies
em R^3. Fluxos de campos vectoriais através de superfícies
em R^3. Domínios regulares, normal exterior. Teorema da divergência.
Interpretação geométrica e física da divergência.
Lei de Gauss.
- Semana 13 Orientação consistente
da fronteira da superfície. Teorema de Stokes em R^3. Cálculo
de potenciais vectores. Interpretação geométrica
e física do rotacional. Propriedades da divergência, rotacional
e gradiente.
Equações de Maxwell. Leis de Ampère, Faraday.
PARTE
VII: Complementos de Cálculo
Integral e Aplicações
- Semana 14 Teorema da convergência
monótona de Levi. Teorema da convergência dominada de Lebesgue.
Continuidade e diferenciação de funções definidas
por integrais. Regra de Leibniz.
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