Introdução à Teoria dos Números (1º período 2023-2024)

 Licenciatura em Matemática Aplicada e Computação


Docente: Pedro Martins Rodrigues - pedro.martins.rodrigues@tecnico.ulisboa.pt



Informações        Anúncios publicados no Fenix        Avaliação       Programa          Bibliografia

Notas de apoio e Fichas de Problemas       Horário de dúvidas        Pautas  


Informações

06/02 - Foram publicados os resultados do Exame. A revisão de prova fica marcada para a próxima quinta-feira, às 14:00, no meu gabinete.

30/01 - Exame: o exame de recurso terá lugar amanhã, às 13:00 na sala V1.23.

30/01 - Exame: Dada a coincidência das horas marcadas para os exames de recurso de Introdução à Teoria de Números e de Combinatória e Grafos, a hora efectiva dos mesmos, bem como a sala, serão anunciados logo que possível.

>p> Pede-se por isso a todas as alunas e alunos inscritos para alguma dessas provas que estejam atentos à publicação de novos anúncios sobre o assunto.

17/01 - Exame: começa hoje o prazo de inscrição para o exame de dia 01/02. Recorda-se que a inscrição é borigatória.

24/11 -

A pauta foi actualizada, contendo agora também as notas finais arredondadas e com o resultado das provas orais.

Recorda-se que o exame da época de recurso terá lugar no dia 1/02. As alunas e alunos que pretendam realizar esse exame devem ter em atenção que a inscrição, feita na plataforma Fenix, é obrigatória. A Nota Final será a melhor entre a obtida na avaliação em época normal e a do exame de recurso.

16/11 - as pautas foram actualizadas após a Revisão de prova. Fica disponível uma resolução do exame.

14/11 - Foram publicadas a pauta do Exame, com as classificações parciais, e a pauta com o resultado total da avaliação, até este momento.

Na conversão da nota do Exame para esta Pauta foi, como tinha sido já explicado, dada uma bonificação de 1 valor (até a um máximo de 8 valores); foram também feitos pequenos acertos de uma ou duas décimas quando estes determinavam a subida da Nota Final para o valor acima.

A Revisão de prova fica marcada para a próxima quinta-feira, 16/11, às 16:30, na sala de dúvidas do Departamento de Matemática. As alunas e alunos com nota igual ou superior a 17,5, têm a sua Nota Final dependente da realização de uma prova oral, e deverão comparecer na Revisão de prova ou falar comigo antes disso para a agendar.

06/11 - a Pauta foi actualizada com as notas da recuperação dos Mini-Testes.

02/11 - O Exame de segunda-feira, dia 06/11, às 08:00, terá lugar no Salão Nobre. É necessária folha de teste; não é permitido o uso de calculadora nem a consulta de quaisquer materiais.

30/10 - Estão disponíveis nesta página, junto das Notas de apoio ao estudo, exemplos de exames realizados em anos anteriores.

30/10 - Sala: a aula extra de amanhã, às 15:00, terá lugar na sala V0.04.

28/10 - Horários de dúvidas: durante a próxima semana, e tendo em conta a alteração da hora da aula extra, o horário de dúvidas será, 2ª, 5ª e 6ª, das 14:00 às 15:30.

28/10 - Alteração de horário: devido a um lapso, a aula extra, que estava marcada para terça-feira, às 10:30, vai realizar-se no mesmo dia mas às 15:00, em sala aanunciar.

27/10 - Foram publicadas as classificações do teste realizado no dia 25/10. M.T. 3-1 refere-se à primeira parte do teste (pergunta 1), enquanto que M.T. 3-2 se refere à segunda parte. Na atribuição da nota total do teste foi feita uma ponderação favorecendo, até ao limite de 0,3, a parte com melhor classificação.

Esta lista contém qual o teste, ou parte de teste, que cada aluna ou aluno poderá melhorar na próxima terça-feira, sendo que a nota final na prova em questão é sempre a melhor das duas. Chama-se a atenção de que, sendo realizada melhoria de alguma das partes do Teste 3, a nota final do Teste 3 será a melhor entre a actual e a que resulta da soma dessa melhoria com a nota já obtida na outra parte: por exemplo, um aluno que tenha obtido 2,0 na primeira parte e 1,2 na segunda, e que com a ponderação tem agora a nota de 3,4 no Teste, caso faça melhoria da segunda parte e obtenha a nota x, terá no Teste 3 a melhor entre 3,4 e 2,0+x.

26/10 - A Pauta com as classificações dos Testes foi actualizada. Há dois testes sem identificação. Agradeço que as alunas ou alunos que fizeram o teste e não têm nota na pauta venham identificar o seu teste. Estarei hoje no meu gabinete (piso 4) até às 11.20 e entre as 14:00 e as 17:00, ou amanhã a partir das 10:00.

25/10 - Recuperação de Testes: a aula extra na qual será possível recuperar um dos MAP15 ou metade do MAP30, terá lugar na próxima terça-feira, 31/10, às 10:00, na sala V0.04.

23/10 - Mudança de sala: A aula de quarta-feira, 25/10, das 9:30 às 10:30, terá lugar no anfiteatro PA1.

22/10 - vai ser marcada, em princípio para terça-feira, 31/10, uma aula especial para recuperação de um dos MAP15 ou meio MAP30.

22/10 - Últimas aulas: Na segunda parte da aula das 09:30 da próxima quarta-feira, 25/10, realiza-se o último teste, que incidirá sobre polinómios, raizes primitivas e Critério de Euler, podendo envolver a aplicação do Teorema Chinês dos Restos.

As aulas de problemas (10:30-12:00 e 12:30-14:00) serão dedicadas a um trabalho de grupo sobre tópicos semelhantes.

17/10 - Ficha de Problemas sugeridos para a aula de amanhã.

12/10 - Mini-Testes: de acordo com o combinado na aula de ontem, os Mini-Testes das próximas semanas vão realizar-se no fim das aulas de quarta-feira; assim, teremos um MAP15 no fim da aula de dia 18/10, às 09:30, e um MAP30 no fim da aula de dia 25/10, à mesma hora. Caso esta alteração seja incompatível com o horário de alguma aluna ou aluno, deverão falar comigo o mais brevemente possível, a fim de se combinar uma alternativa.

11/10 - Horário de dúvidas: devido a um problema familiar inesperado, o horário de atendimento marcado para hoje tem que ser cancelado. Haverá um horário de substituição na próxima sexta-feira, 13/10, entre as 10:00 e as 12:00. As minhas desculpas pelo inconveninete causado.

11/10 - Ficha de Problemas sugeridos para a aula de hoje.

09/10 - Horário de dúvidas: devido à realização de aula de preparação para o Teste de Álgebra Linear, o horário de dúvidas marcado para amanhã, 10/10, é tranferido para a próxima quinta-feira, 12/10, das 14:30 às 16:30.

09/10 - O trabalho de grupo deve ser entregue até à próxima segunda-feira, 16/10.

06/10 - A pauta foi actualizada.

03/10 - Ficha de Problemas sugeridos para a aula de amanhã.

03/10 - Foram publicados os resultados do primeiro Mini-Teste.

29/09 - O trabalho de grupo deve ser entregue até à próxima quarta-feira, 04/10. Sugere-se aos grupos de trabalho que comecem por dividir os problemas entre os membros do grupo e discutam depois as soluções colectivamente.

26/09 - Ficha de Problemas sugeridos para a aula de hoje.

25/09 - Devido a um compromisso anterior, amanhã, 26/09, não haverá sessão de esclarecimento de dúvidas. As minhas desculpas pelo inconveniente.

25/09 - Foram publicadas as duas Fichas Complementares referidas nas aulas.

22/09 - Grupos de trabalho: a formação dos grupos de trabalho tem que ser feita até à próxima quarta-feira. Os grupos devem enviar-me uma mensagem com a sua constituição (nomes e números). Na próxima semana será publicado um trabalho de casa.

22/09 - a Ficha 4 deve ser estudada como preparação da próxima aula.

18/09 - Horário de dúvidas: foi publicado nesta página o horário de atendimento para esclarecimento de dúvidas. As sessões, que começam amanhã, têm lugar na sala de dúvidas do Departamento de Matemática.

15/09 - foram publicadas as Fichas 3 e 4, para preparação das aulas da próxima semana.

13/09 - foi publicada uma Ficha 0 que pode (e deve...) ser usada como uma breve revisão ou introdução de noções básicas sobre Conjuntos, Funções e Relações.

11/09 - Por lapso, as Fichas não estavam disponíveis. O erro já foi corrigido.

08/09 - Horário O horário e salas das aulas é o seguinte:

Segunda-feira, 11:00-12:30, GA2 (Pavilhão Central)

Quarta-feira, 09:30-10:30, QA1.1 (Torre de Química)

Quarta-feira, 10:30-12:00 (turno 2), P8 (Pavilhão de Matemática)

Quarta-feira, 12:30-14:00 (turno 1), P13 (Pavilhão de Matemática)

06/09 - Primeiras Informações. Funcionamento das aulas: as aulas conjuntas (segunda-feira, 11:00-12:30 e quarta-feira, 09:30-10:30) são dedicadas à discussão da matéria, incluindo a apresentação, dedução e interpretação de teoremas, exemplos de aplicação e resolução de problemas. As aulas de turno (quarta-feira, 10:30-12:00 ou 12:30-14:00) são dedicadas à resolução de problemas, em grupos de trabalho, com a colaboração do docente, e também aos Mini-Testes.

Fichas de trabalho, preparação das aulas e Notas: Para o melhor aproveitamento das aulas, será muito útil a leitura das Fichas (incluindo a resolução de exercícios) que são publicadas dias antes (as duas primeiras já estão disponíveis). Estão também já disponíveis Notas de apoio ao estudo, que contêm uma apresentação de toda a matéria com listas de exercícios. Estas Notas estão em processo de actualização (a existência de novas versões será anunciada).

Grupos de trabalho: as alunas e alunos devem organizar-se em grupos de trabalho de 4 elementos (nunca mais do que 5), que deverão estar no mesmo turno (possíveis trocas informais de turno poderão ser discutidas); a constituição desses grupos (nomes e números) deve ser-me comunicada por mensagem.



Programa

Números naturais e o princípio de indução finita. Números inteiros e o lema da divisão. Divisibilidade e máximo divisor comum. Algoritmo de Euclides. Números primos e o teorema fundamental da aritmética. Exemplos de tópicos e problemas da teoria dos números. Congruências. A equação linear numa variável. Teorema chinês dos restos. Potências em aritmética modular e o teorema de Fermat–Euler. Função de Euler. Raízes em aritmética modular e aplicações. Equações polinomiais com módulo primo. Raízes primitivas e aplicações: o Critério de Euler. A lei da reciprocidade quadrática. Equações com módulo p^k e o lema de Hensel. Funções aritméticas.

Bibliografia

Ao longo do semestre, serão disponibilizadas nesta página fichas de apontamentos como material de apoio ao estudo. Estas fichas não substituem a consulta das referências bibliográficas indicadas.


Durante as aulas serão dadas, à medida que elas se revelem úteis, informações e explicações sobre algumas referências bibliográficas, que permitam aos interessados uma pesquisa mais variada sobre os temas do curso. A lista seguinte é apenas informativa e não se pretende ou sugere uma consulta generalizada. 



  • Niven, I., Zuckerman, H.S., Montgomery, H.L., An Introduction to the Theory of Numbers, John Wiley & Sons, Inc., 1991.

  • Hardy, G.H., Wright, E.M., (Heath-Brown, D.R., Silverman, J.H., rev.), An Introduction to the Theory of Numbers, (6th ed.) Oxford University Press, 2008.

  • Silverman, J.H., A Friendly Introduction to Number Theory, Pearson International Edition, 2005.

  • Bressoud, D., Wagon, S., A Course in Computational Number Theory, Key College Publishing, 2000.

  • Weissman, Martin H.An Illustrated Theory of Numbers, American Mathematical Society, 2017.

  • Graham, R., Knuth, D., Patashnik, O., Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994.


Notas de apoio e Fichas de Problemas .

Ficha 0: Conjuntos, Funções e Relações

Ficha 1: Os Números Naturais e o Princípio de Indução Finita

Ficha 2: Os Números Inteiros e o Algoritmo de Euclides

Ficha 3: do Algoritmo de Euclides ao Teorema Fundamental da Aritmética

Ficha 4: primeiras noções de Aritmética Modular

Notas (versão 2021)

Conjuntos, funções, relações. Os Números Naturais.

Aritmética dos Inteiros.

Aritmética Modular I: noções básicas; a equação linear; o Teorema Chinês dos Restos.

Aritmática Modular II: potências e raízes.

Aritmética Modular III: equações modulares não lineares; ordens e raízes primitivas; a Lei da Reciprocidade Quadrática.

Fichas Complementares

O Problema de Frobenius

Números Perfeitos e problemas relacionados



Exame 1 (2021) , Exame 2 (2021) , Exame 1 (2022) .

Avaliação

A avaliação de conhecimentos nesta cadeira consiste na realização de dois Mini-Testes de 15 minutos cada (MAP15) e um de 30 minutos (MAP30), em trabalhos de casa de grupo (TPC) e um exame de uma hora (E).

Cada Mini-Teste de 15 minutos vale 10% da nota, o Mini-Teste de 30 minutos 20%, os TPC valem 20%, e o Exame 40%.

Às alunas e alunos com nota final superior a 17 valores será proposta a realização de uma prova oral que determinará uma nota final igual ou superior a 17 valores. Caso não se apresentem a essa prova oral, a nota final ficará fixada em 17 valores.

As datas destas provas são (em princípio)

MAP15 - 25/09, MAP15 - 16/10, MAP30 - 23/10, E - 06/11.

Os TPC e datas de entrega serão combinados nas aulas.

As alunas e alunos devem organizar-se em grupos de trabalho de 4 elementos, para a realização de trabalhos de casa, e preparação e trabalho nas aulas de problemas. Aconselha-se que estes grupos de trabalho coincidam, na medida do possível, com os formados para outras Unidades Curriculares, como Matemática Experimental e Elementos de Programação.

Horário de dúvidas

Terça-feira - 14:00-15:30

Quarta-feira - 14:30-16:00


Pautas

MAPs    Exame    Testes, TPC, Exame e Nota Final