Análise e Simulação Numérica
Lic. Eng. Ambiente e Lic. Química 2003/04
Professor Responsável: Carlos J. S. Alves
Aulas práticas: Svilen Valtchev

---

Programa

• Conceitos básicos do cálculo numérico.
• Representação de números, arredondamento e propagação de erros.
• Referência às linguagens de programação Mathematica e Fortran.
• Normas, erros, convergência, condicionamento e estabilidade.
• Resolução numérica de equações e sistemas.
• Equações não-lineares: Métodos do ponto fixo, secante e Newton-Raphson.
• Sistemas lineares: Métodos de Jacobi, Gauss-Seidel, SOR e do Gradiente Conjugado.
• Sistemas não-lineares: Método do ponto fixo e método de Newton.
• Aproximação de funções
• Interpolação polinomial e trigonométrica. Fórmulas de Lagrange e de Newton.
• Transformação de Fourier Discreta (DFT e FFT).
• Método dos mínimos quadrados.
• Integração numérica: Fórmulas de Newton-Côtes e de Gauss.
• Derivação numérica.
• Resolução numérica de equações diferenciais e aplicações
• Problemas de valor inicial: Métodos de passo simples (Euler, Runge-Kutta) e múltiplo (Adams).
• Problemas com valores na fronteira: métodos de diferenças finitas.
• Exemplos de aplicação a problemas de engenharia.

Bibliografia

• K. Atkinson, An Introduction to Numerical Analysis.Wiley & Sons, 2nd. Ed., 1989.
• R. L. Burden, J. D. Faires & A. C. Reynolds, Numerical Analysis. Prindle, Weber & Schmidt, 2nd. Ed., 1987.
• M. Carpentier, Análise Numérica. Secção de Folhas AEIST, 1993.
• T. Diogo & M. Tomé, Análise Numérica - Notas de aulas. Secção de Folhas AEIST, 2002.
• D. Kincaid & W. Cheney, Numerical Analysis: Mathematics of Scientific Computing. Brooks/Cole,  3rd Ed., 2002.
• H. Pina, Métodos Numéricos. McGraw-Hill, 1995.
• P. Lima, Problemas de Análise Numérica, Secção de Folhas, AEIST.
• A. Quarteroni, R. Sacco & F. Saleri, Numerical Mathematics. TAM 37, Springer Verlag, 2000.
• C. J. S. Alves, Fundamentos de Análise Numérica (I).  Secção de Folhas AEIST, 2001.
• Análise Numérica: Resumo da Matéria Teórica, 2001 : em HTML

• 1º Trabalho: 10% (de 4 a 23 de Abril)
• 2º Trabalho: 20% (de 10 de Maio a 4 de Junho)
• Exame: 70%.

Observação:
Trabalhos do ano 2002/03 podem ser considerados para substituição do 2º trabalho
(para esse efeito, os alunos interessados devem apresentar uma cópia do trabalho
ao Professor das Aulas Práticas obrigatoriamente até ao dia 4 de Junho).

Horário
Teóricas: Segunda 12h-13h (QA1.1), Terça 12h-13h (QA02.2), Quinta 13h-14h (QA1.4)
Práticas: Terça 09h-11h (Q5.2), Sexta 08h-10h (C12)

As aulas práticas começam na semana de 8 a 12 de Março de 2004.

Horário de dúvidas:
Carlos Alves: Quinta-Feira 17h00-18h30 (extensão telefónica: 1065)
Svilen Valtchev (apoio a trabalhos): Sexta-Feira 14h00-15h30 (extensão telefónica: 1068)

INSCRIÇÃO dos Grupos para o 2º Trabalho nas Aulas Práticas até 7 de Maio.

Exames

Exame de 1ª Época: Sábado, 3/7/2004 às 09:00
Exame de 2ª Época: Quinta, 15/7/2004 às 09:00
Exame de Época Especial:
Os alunos inscritos em época especial, deverão enviar um mail
até ao dia 13 de Setembro de 2004.
A prova deverá realizar-se no dia 14 de Setembro de 2004, às 18h00.

Elementos para exame:
- Folha A4 manuscrita pelo aluno (frente e verso).
- não são utilizadas máquinas de calcular.

Inscrição no Exame de 2. época:
A inscrição deve ser efectuada através do portal fenix.ist.utl.pt
resolução do 1.exame
 

Sumários das Aulas Teóricas:

• (01/3/2004 12:00) Apresentação. Dados sobre a disciplina e método de avaliação. Descrição dos objectivos e exemplos numéricos na linguagem Mathematica.
• (02/3/2004 12:00) Representação de Números e Teoria de Erros. Sistema de Ponto Flutuante. Erros de arredondamento. Erro absoluto e relativo.
• (04/3/2004 13:00) Sistema de Ponto Flutuante e Declaração de Variáveis. Relação entre o sistema de Ponto Flutuante e a Declaração de Variáveis em Fortran e em Mathematica. Unidade de Arredondamento.

• (08/3/2004 12:00) Propagação de Erros. Fórmula de propagação de erros relativos por funções ou operações. Condicionamento de problemas e estabilidade de algoritmos.
• (09/3/2004 12:00) Vectores e Matrizes. Normas vectoriais. Representação de Vectores e Matrizes no Fortran e Mathematica. Definição de norma. Normas Vectoriais (máximo, soma, euclidiana). Erro absoluto e relativo na aproximação de vectores.
• (11/3/2004 13:00) Normas de Matrizes e Condicionamento. Normas matriciais induzidas por normas vectoriais (linhas-máximo, colunas-soma, euclidiana). Propriedades. Raio espectral.

• (15/3/2004 12:00) Condicionamento em Sistemas Lineares. Relação entre o raio espectral e as normas induzidas. Número de condição de uma matriz. Desigualdades com erros relativos e condicionamento. Número de condição associado ao raio espectral. Estabilidade - escolha de pivot. Métodos Directos (breve referência).
• (16/3/2004 12:00) Métodos Iterativos para a resolução de equações. Equações com uma incógnita - breve apontamento histórico. Teoremas para a localização de raízes - existência e unicidade. Estimativa a posteriori para a aproximação de uma raiz.
• (18/3/2004 13:00) Métodos Iterativos - convergência, exemplos. Método do Ponto Fixo. Exemplos de métodos iterativos - cálculo de raízes de um número. Ordem  de convergência. Método do ponto fixo - introdução geométrica.

• (22/3/2004 12:00) Método do Ponto Fixo. Contractividade. Função Lipschitziana e função contractiva - relação com a derivada. Teorema do ponto fixo para intervalos (existência, unicidade, convergência). Exemplo.
• (23/3/2004 12:00) Método do Ponto Fixo. Convergência e estimativas de erro. Estimativas de erro a priori e a posteriori. Convergência monótona e alternada. Teoremas de Convergência Local e Divergência.
• (25/3/2004 13:00) Método de Newton. Condições suficientes de convergência. Método de Newton: caso particular do método do ponto fixo. Dedução geométrica. Condições Suficientes para a convergência do método de Newton.

• (29/3/2004 12:00) Método de Newton e da Secante. Fórmula de erro para o Método de Newton. Convergência quadrática local. Método da Secante. Condições suficientes de convergência. Ordem de convergência do método da secante - número de ouro.
• (30/3/2004 12:00) Métodos Iterativos para Sistemas Lineares. Métodos do tipo ponto fixo com A=L+D+U. Método de Jacobi. Exemplos.
• (01/4/2004 13:00) Métodos de Jacobi e de Gauss-Seidel. Método de Gauss-Seidel. Convergência dos métodos iterativos. Condições necessárias e suficientes para a convergência r(C)<1. Condição suficiente ||C||<1. Diagonal estritamente dominante por linhas e por colunas.

• (05/4/2004 12:00) Métodos de Jacobi, Gauss-Seidel e SOR. Fórmulas do erro para métodos iterativos. Invertibilidade da matrizes A se ||C||<1. Método de SOR. Condição necessária, e condição necessária e suficiente para matrizes simétricas definidas positivas.
• (06/4/2004 12:00) Método do Gradiente e do Gradiente Conjugado. Minimização da forma quadrática associada ao sistema. Método do Gradiente. Direcções Conjugadas (A-ortogonais). Método dos Gradientes Conjugados.
• (08/4/2004 13:00) Férias de Páscoa
• (12/4/2004 12:00) Férias de Páscoa
• (13/4/2004 12:00) Férias de Páscoa
• (15/4/2004 13:00) Métodos para Sistemas de Equações Não Lineares. Método do Ponto Fixo em Rⁿ. Noção de contractividade e Teorema do Ponto Fixo. Método de Newton em Rⁿ.

• (19/4/2004 12:00) Aproximação de Funções - Interpolação Polinomial. Existência e unicidade do polinómio interpolador. Polinómios base de Lagrange. Fórmula de Interpolação de Lagrange. Exemplo.
• (20/4/2004 12:00) Interpolação Polinomial. Fórmula de Interpolação de Newton. Tabela de interpolação e diferenças divididas. Fórmula de interpolação de Newton. Exemplo.
• (22/4/2004 13:00) Estimativa de Erro na Interpolação Polinomial. Relação entre as diferenças divididas e a derivação. Estimativa do erro de interpolação polinomial. Exemplo.

• (26/4/2004 12:00) Interpolação Polinomial e Trigonométrica. Relação entre a fórmula de Newton e a expansão em série de Taylor. Interpolação trigonométrica - matriz de Vandermonde para interpolação em [0,2p[. Resolução pela Transformação de Fourier Discreta. Referência à Transformação de Fourier Rápida (FFT) e ao número de operações.
• (27/4/2004 12:00) Método dos Mínimos Quadrados. Regressão linear. Melhor aproximação no sentido dos mínimos quadrados. Funções Base. Dedução do Sistema Normal.
• (29/4/2004 13:00) Método dos Mínimos Quadrados. Sistema Normal - Matriz definida positiva no caso de funções linearmente independentes. Sistema Normal - multiplicação pela matriz transposta do sistema - caso discreto. Definição do produto interno no caso contínuo. Exemplos.

• (03/5/2004 12:00) Método dos Mínimos Quadrados. Produtos internos no caso de funções com valores complexos. Relação com Séries de Fourier - Caso Continuo. Caso Não-Linear. Transformação para o caso linear. Exemplos.
• (04/5/2004 12:00) Integração Numérica. Definição de Regra de Quadratura e do seu Grau. Sistema para a determinação dos pesos. Regra Simples do Ponto-Médio, dos Trapézios e de Simpson.
• (06/5/2004 13:00) Integração Numérica. Determinação dos pesos através da integração de funções base de Lagrange. Relação com a interpolação. Regras Compostas: Regra do Ponto Médio Composta e Regra dos Trapézios Composta.

• (10/5/2004 12:00) Integração Numérica. Regra de Simpson Composta. Exemplo. Erro da Regra dos Trapézios Simples.
• (11/5/2004 12:00) Integração Numérica. Erro de Integração na Regra dos Trapézios Composta, Regra de Simpson Simples e Regra de Simpson Composta.
• (13/5/2004 13:00) Distribuição dos Inquéritos aos Alunos. Integração Numérica. Método dos coeficientes indeterminados para a determinação de nós (sistema não linear).

• (17/5/2004 12:00) Integração Numérica: Gauss-Legendre. Polinómios de Legendre. Ortogonalidade. Zeros como nós de integração. Fórmulas de Gauss-Legendre. Introdução à Derivação Numérica. Grau de uma Regra de Derivação Numérica.
• (18/5/2004 12:00) Derivação Numérica. Método dos coeficientes indeterminados para regras de derivação. Exemplos: Diferenças Progressivas, Regressivas, Centradas. Diferenças Centradas para a aproximação da Segunda Derivada.
• (20/5/2004 13:00) Derivação Numérica. Dedução de fórmulas de erro para regras de derivação numérica. Erro para as Diferenças Progressivas e Centradas de primeira e segunda ordem.

• (24/5/2004 12:00) Métodos para Equações Diferenciais Ordinárias. Equações Diferenciais ordinárias. Problema de Cauchy. Teorema de Picard-Lindelöf. Existência e unicidade. Introdução aos Métodos de Taylor. Método de Euler.
• (25/5/2004 12:00) Método de Euler. Estudo do erro. Erro de truncatura local. Dedução da estimativa de Erro Global para o método de Euler. Exemplo.
• (27/5/2004 13:00) Sistemas de EDO's. Método de Taylor e de Runge-Kutta de 2ªordem. Aplicação dos métodos a sistemas de EDO's com foco na redução de equações de ordem superior a um sistema de equações de primeira ordem. Método de Taylor de segunda ordem. Dedução de um Método de Runge-Kutta de ordem 2.

• (31/5/2004 12:00) Métodos de Runge-Kutta. Método de Runge-Kutta de ordem 2: Heun e Ponto-Médio. Método de ordem 4. Noções de consistência e estabilidade. Método de Euler Implícito - aplicação do método do ponto fixo.
• (01/6/2004 12:00) Métodos Preditor-Corrector. Métodos do tipo preditor-corrector. Métodos de passo múltiplo.
• (03/6/2004 13:00) Métodos de Adams. Métodos explícitos de Adams-Bashforth e implícitos de Adams-Moulton.

Um problema de equações diferenciais parciais: advecção-difusão e relação com a modelação ambiental.

(aulas práticas)

Aula teórica extra dia 8 de Junho : resolução de algumas perguntas de exame.