Análise Matemática IV

Eng. Electrotécnica, Eng. Química, Lic. Química, Eng. Ambiente e Eng. Biológica

2º semestre 2006/2007

(última actualização em 6/7/2007)

"Aprender Física e aprender Matemática exige esforço, exige concentração, exige trabalho, exige fazer muitos exercícios, exige testar muitas vezes os conhecimentos, ginasticar o raciocínio. Não se compadece com o improviso, nem vive apenas de intuição e de "jeito". A arte nacional do desenrascanço pode permitir vestir de belas palavras uma resposta ignorante em Humanidades - mas esbarra sem apelo nem agravo perante um problema concreto de Física ou de Matemática.

E, se é importante que os alunos tenham uma noção de que o que estão a aprender tem uma relação com a realidade, não se deve criar a ilusão de que se pode gostar de Matemática ou de Física, se não se apreciar o pensamento abstracto, se não se apreciarem os mistérios do infinitamente grande e do infinitamente pequeno."

José Manuel Fernandes, Público, 16/5/2001

"[...] um livro de Análise destinado a estudantes universitários (independentemente do domínio da Ciência ou da Técnica a que pretendem dedicar-se) deve fornecer hábitos de rigor e estimular o espírito crítico, de tal modo que - sem menosprezo do papel vitalizador da intuição na aprendizagem da Matemática - os seus leitores sejam naturalmente conduzidos a distinguir com clareza as pseudo-definições, de base essencialmente intuitiva, de verdadeiras definições, e as conjecturas, de plausibilidade apenas sustentada por argumentos empíricos, das proposições que os métodos dedutivos permitem estabelecer."

Jaime Campos Ferreira, "Introdução à Análise Matemática"

Biografias de Algumas das Figuras Centrais da Matemática da AMIV
(para ler biografias de muitos mais matemáticos clique aqui)

Euler

Euler

Laplace

Fourier

Cauchy

Riemann

Picard

Exemplo de um fractal no plano complexo: o conjunto de Mandelbrot.

O conjunto de Mandelbrot e três ampliações sucessivas das regiões representadas nos rectângulos brancos.

Órbita do atractor de Lorenz, correspondente ao sistema não-linear de equações diferenciais ordinárias:

$\frac{dx}{dt} = \sigma (y - x)$

$\frac{dy}{dt} = x (\rho - z) - y$

$\frac{dz}{dt} = xy - \beta z$

Ambos estes exemplos - o primeiro do âmbito da Análise Complexa (parte I do programa) e o segundo das equações diferenciais ordinárias (parte II do programa) - constituem dois casos clássicos que exibem propriedades associadas ao fenómeno descrito habitualmente como caos.

Conteúdo da página

Avisos
Notas
Docentes
Funcionamento da Disciplina
         Programa
         Bibliografia
Outros Textos Disponíveis Online
         Avaliação
         Horários de Dúvidas
Exercícios, Testes e Exames
         Testes/Exames
         Exercícios Propostos para Aulas Práticas
Fichas de Exercícios Resolvidos
Fichas Sumplementares
         Arquivo de Testes e Exames
Matemática na Internet
Páginas de Outros Professores

Avisos

(6/7/2007) Os resultados das revisões de prova encontram-se actualizados na pauta do teste de recuperação / notas finais.
(2/7/2007) A revisão de provas do Teste de Recuperação decorrerá às 15:00 de sexta-feira, 6 de Julho, na antiga sala de dúvidas do departamento de matemática, sala 09 do piso 02, na cave do Pavilhão de Matemática.
(30/6/2007) O aluno 56732 de LEEC deverá contactar o prof. responsável até ao dia 6/7/2007 para marcação da sua prova oral. Caso esta não se realize a nota final será de 17 valores.
(30/6/2007) A revisão de provas dos testes de recuperação será realizada na semana de 2 a 6 de Julho, em data e hora a anunciar.
(30/6/2007) As notas dos Teste de Recuperação já se encontram afixadas aqui.
(15/6/2007) Na revisão de prova do 2º Teste apenas foi alterada a nota da aluna 52621.
(15/6/2007) A distribuição de alunos por sala, para o teste de recuperação de Segunda-feira 18/6/2007, encontra-se aqui. O teste terá início às 13:00 para todos os alunos.
(15/6/2007) As notas do 2º Teste já se encontram afixadas aqui.
(15/6/2007) As notas do quarto miniteste estão afixadas aqui.
(11/6/2007) Atenção que a hora do teste de recuperação do dia 18/6 ainda não foi estabelecida, por motivos da organização logística do mesmo. Ela será oficialmente anunciada no final da semana, quando for afixada a distribuição dos alunos pelas salas.
(11/6/2007) Em compensação pela aula de dúvidas do feriado, darei (JDS) uma aula de dúvidas extra, na quinta-feira dia 14 de Junho, das 14:00 - 16:00.
(11/6/2007) Na semana de 11 a 15 de Junho, exceptuando-se o dia 13 por ser feriado municipal, funcionarão ainda as aulas de dúvidas, nos horários habituais.
(11/6/2007) A revisão de provas do 2º teste decorrerá às 15:00 de sexta-feira, 15 de Junho, na antiga sala de dúvidas do departamento de matemática, sala 09 do piso 02, na cave do Pavilhão de Matemática.
(11/6/2007) As folhas de inscrições para o teste de recuperação já se encontram disponíveis, no local habitual, no Piso 2 do Pavilhão de Matemática, nas mesas à saída do elevador. Serão retiradas na sexta-feira, dia 15 de Junho, às 11:00. Qualquer aluno poderá realizar (apenas) um dos testes de recuperação, independentemente de ter comparecido ao correspondente teste anteriormente ou da nota que tenho tido.
(8/6/2007) A distribuição de alunos por sala, para o 2º teste, de 9/6/2007, encontra-se aqui. O teste terá início às 11:00 para todos os alunos.
(31/5/2007) As folhas de inscrições para o segundo teste já se encontram disponíveis, no local habitual, no Piso 2 do Pavilhão de Matemática, nas mesas à saída do elevador. Serão retiradas na quinta-feira, dia 7 de Junho, ao final da tarde.
(23/5/2007) As notas do terceiro miniteste já se encontram disponíveis aqui.
(23/5/2007) O quarto e último mini-teste realizar-se-á nas aulas práticas da próxima semana de 28 de Maio a 1 de Junho.
(8/5/2007) Nenhuma das notas foi alterada na revisão de provas de hoje.
(7/5/2007) A revisão de provas decorrerá às 15:00 de Terça-feira, 8 de Maio, na antiga sala de dúvidas do departamento de matemática, sala 09 do piso 02, na cave do Pavilhão de Matemática.
(3/5/2007) As notas do 1º Teste já se encontram afixadas aqui. A revisão de provas decorrerá na próxima Terça-feira, dia 8 de Maio, às 15:00, em sala a anunciar.
(2/5/2007) A aula prática de substituição, para as turmas de LEEC de quarta-feira, que decorrerá no dia 4 de Maio, sexta-feira, das 11:00 às 13:00, será na sala C22.
(1/5/2007) O terceiro mini-teste realizar-se-á nas aulas práticas da próxima semana de 7-11 de Maio.
(27/4/2007) A aula prática de substituição, para as turmas de LEAmb e LEB, que decorrerá no dia 2 de Maio, das 13:00 às 15:00, será na sala Q4.1
(20/4/2007) A distribuição de alunos por sala, para o 1º teste, de 21/4/2007, encontra-se aqui. O teste terá início às 15:00 para todos os alunos.
(17/4/2007) A aula prática de quarta-feira, para o curso de LEEC, tem uma nova sala atribuída pelo GOP: a sala C9.
(14/4/2007) As notas do segundo miniteste já se encontram disponíveis aqui.
(12/4/2007) As folhas de inscrições para o primeiro teste encontram-se no Piso 2 do Pavilhão de Matemática, nas mesas à saída do elevador. As inscrições terminarão na próxima quinta-feira, dia 19/4/2007, altura em que as folhas de inscrição serão retiradas ao final do dia.
(27/3/2007) As notas do primeiro miniteste já se encontram disponíveis aqui.
(19/3/2007) O segundo mini-teste realizar-se-á nas aulas práticas já da próxima semana de 26-30 de Março.
(11/3/2007) Os alunos do curso de LEEC que no início do semestre se inscreveram nalguma das três aulas práticas no fénix terão que, obrigatoriamente, realizar o miniteste na turma em que fizeram essa inscrição. A frequência de outros horários mais convenientes, à revelia dessas inscrições, põe em risco quase certo a realização dos minitestes nalgumas das aulas, devido à resultante sobrelotação das salas. Contarão como não entregues os minitestes de LEEC que se verifiquem, à posteriori, não corresponder à turma da inscrição indicada no fénix.
(7/3/2007) Para não haver sobreposições com as aulas de dúvidas do Prof. Carlos Florentino, as minhas aulas de dúvidas passam a ter novo horário.
(2/3/2007) O primeiro mini-teste decorrerá nas aulas práticas da semana de 12-16 de Março. O miniteste realiza-se durante os primeiros quinze minutos da aula (sendo que a aula começa aos 10 minutos depois da hora).

Notas

Docentes

Responsável: Jorge Drumond Silva

Aulas Teóricas: Jorge Drumond Silva

Aulas Práticas: Jorge Drumond Silva
Luís Pessoa
João Dias

Jorge Drumond Silva

Aulas: Teóricas - 2ª, 3ª e 5ª feira 8:00-9:00 (LEEC), 9:00-10:00 (LEQ+LQ+LEAmb + LEBio)
            Prática - 2ª feira, 15:00 - 17:00, Sala C01 (turmas 14204, 14205, 14206)
  Prática - 3ª feira, 12:00 - 14:00, Sala Q4.1 (turmas 15201, 17201, 17202)
            Prática - 4ª feira, 11:00 - 13:00, Sala C9 (turmas 14201, 14202, 14203)
E-mail: jsilva@math.ist.utl.pt
Horário de Dúvidas: 2ª feira 11:00 - 13:00
3ª feira 17:00 - 19:00
   4ª feira 8:00 - 10:00

Luís Pessoa

Aulas: Prática - 3ª feira, 11:00 - 13:00, Sala C12 (turmas 14208, 14207)
E-mail: lpessoa@math.ist.utl.pt
Horário de Dúvidas: 5ª feira 11:00 - 13:00
6ª feira 16:00 - 18:00

João Dias

Aulas: Prática - 6ª feira, 8:00 - 10:00, Sala V004 (turmas 05201, 05202, 16201)
E-mail: jmdias@math.ist.utl.pt

Funcionamento da Disciplina

Programa:

Parte I: Análise Complexa

Estrutura algébrica e topológica dos números complexos.
Funções elementares.
Diferenciabilidade de funções complexas: equações de Cauchy-Riemann, funções harmónicas.
Integração de funções complexas: teoremas e fórmulas integrais de Cauchy e suas consequências fundamentais.
Séries de potências.
Singularidades isoladas, séries de Laurent, teorema dos resíduos e aplicações.

Parte II: Equações Diferenciais Ordinárias

Equações lineares escalares de primeira ordem, equações separáveis, exactas e factores integrantes.
Traçado do gráfico de soluções.
Existência, unicidade e extensão de soluções.
Sistemas de equações diferenciais de primeira ordem: exponencial de matrizes e matrizes fundamentais; fórmula da variação das constantes.
Equações de ordem superior: a equação característica e a matriz companheira; método de redução de ordem; método dos coeficientes indeterminados.
Método da transformada de Laplace e aplicações à resolução de equações diferenciais de coeficientes constantes.

Parte III: Equações Diferenciais Parciais

Método de separação de variáveis; problemas de valor inicial e fronteira.
Séries de Fourier, suas propriedades e convergência.
Algumas soluções de problemas de valor inicial e fronteira para as equações do calor, de Laplace e das ondas.

Bibliografia:

Principal:

Para Análise Complexa (Parte I do programa): M.A. Carreira, M.S.M. Nápoles, Variável Complexa: Teoria Elementar e Exercícios Resolvidos, McGraw-Hill ou G. V. Smirnov, Análise Complexa e Aplicações, Escolar Editora.
Para Equações Diferenciais (Partes II e III do programa): L. Magalhães, Teoria Elementar de Equações Diferenciais, notas do IST (secção de folhas AEIST).

Bibliografia adicional relevante:

(Parte I) C. Matos, J.C. Santos, Curso de Análise Complexa, Escolar Editora.
(Parte I) Marsden, Hoffman, Basic Complex Analysis, 2nd edition, Freeman.
(Parte I) L. Ahlfors, Complex Analysis, 3rd edition, McGraw-Hill.

Obs: Os dois primeiros livros, desta sugestão adicional, são bastante completos no que respeita ao programa de Análise Complexa ensinado na disciplina, com uma abordagem bastante mais rigorosa e cuidada do ponto de vista matemático (mas só marginalmente mais sofisticada), do que aquela que seguiremos nas aulas. Além da cobertura de vários detalhes e aspectos laterais que, por restrições de tempo, infelizmente não podemos aprofundar no programa da AMIV, estes livros também levam o estudo da Análise Complexa muito mais adiante do que será possível fazer no âmbito do programa duma disciplina como a AMIV. O último destes três livros indicados, de Lars Ahlfors, é um dos livros clássicos de matemática do séc. XX e internacionalmente considerado como uma referência fundamental de análise complexa. Escrito por um dos matemáticos mais destacados do século passado, vencedor da primeira medalha Fields em 1936, trata-se de um livro avançado, aconselhado apenas para aqueles alunos que tenham muito interesse em expandir os seus conhecimentos de matemática para além do que é ensinado nas disciplinas tradicionais de análise do IST, para os cursos de engenharia.

(Parte II) Pestana da Costa, Equações Diferenciais Ordinárias, IST Press
(Parte II) Boyce e DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, Wiley and Sons
(Parte II e III) Braun, Differential Equations and Their Applications, 4th edition, Springer-Verlag

Obs: O primeiro livro cobre apenas a parte da matéria relativa a equações diferenciais ordinárias, e assume um conhecimento de matemática inferior ao que se espera de um aluno em Análise IV. Por isso, tem explicações detalhadas e elementares de muitos conceitos, o que pode ser útil a todos. A ordem em que a matéria é apresentada é também muito diferente da que seguimos na cadeira, pelo que há que ter em atenção esse facto. Os outros dois livros são clássicos de introdução ao tema de equações diferenciais. O livro de Braun, em particular, é de leitura extremamente fácil dado o nível em que os temas são expostos. Mas também por isso, há pontos da matéria que não são cobertos com o mesmo grau de profundidade ou generalização que seguimos nas aulas. Ambos contêm bastantes exemplos e exercícios.

(Parte III) Djairo Guedes de Figueiredo, Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais, Projecto Euclides, IMPA

Obs: Este livro é uma excelente introdução à análise de Fourier. Escrito duma forma bastante clara e agradável, começa ao nível do que é dado na nossa disciplina e leva o tema bem mais longe, com variadas aplicações e exemplos. O assunto é de extrema utilidade para qualquer área de engenharia e física.

Outros Textos Disponíveis Online:

Texto de Análise Complexa do Prof. Gabriel Pires. Carregue aqui.
Folhas de Introdução à Análise Complexa do Prof. Palhoto de Matos. Carregue aqui

Avaliação:

Provas Escritas: Esta disciplina NÃO tem exame final. Realizar-se-ão dois testes, com a duração de 90 minutos, e sem restrição de nota mínima. O primeiro teste será realizado no dia 21 de Abril de 2007, cobrindo a matéria dada até essa altura, desde o início das aulas. O segundo teste será realizado no dia 9 de Junho de 2007 e cobrirá a matéria dada até ao final do semestre, que não foi abrangida pelo primeiro teste. A nota de cada teste será atribuída na escala de 0 a 10 (com precisão até às décimas). Haverá uma prova de recuperação a efectuar em 18 de Junho de 2007, oferecendo a possibilidade de repetir um dos testes, à escolha do aluno. A inscrição prévia será obrigatória, em todos os testes, sendo que no caso do teste de recuperação esta terá que incluir a indicação da prova que o aluno pretende repetir. A nota de um teste de recuperação prevalecerá sobre a nota obtida em data regular somente no caso de lhe ser superior. A nota nas provas escritas, NE, será igual ao arredondamento às unidades da soma das notas finais nos dois testes.

Os alunos só podem apresentar-se a provas escritas munidos do cartão de aluno ou de bilhete de identidade. Não serão permitidas, nessas provas, quaisquer meios de consulta ou material auxiliar de cálculo, como tabelas, calculadoras, etc... O aluno apenas poderá ter consigo material de escrita, folha de respostas e algumas páginas de folhas de rascunho. Quaisquer tipo de fraudes detectadas na realização das provas escritas implicarão a anulação imediata da prova e serão comunicadas ao Conselho Directivo, para procedimento disciplinar, de acordo com o ponto 11 do regulamento de avaliação de conhecimentos.

Avaliação Contínua: Haverá uma componente de avaliação contínua, através da realização de minitestes nas aulas práticas. Estes serão previamente anunciados e decorrerão com uma periodicidade aproximadamente tri-semanal. Serão resolvidos durante os quinze minutos iniciais da aula prática respectiva, não sendo dada qualquer tolerância ou oportunidade de repetição a alunos que cheguem atrasados ao início dessa aula. Os alunos terão que realizar os minitestes sempre na mesma turma prática, ao longo de todo o semestre. Cada miniteste será classificado apenas com uma de três notas -1, 0, 1, sendo a nota final da avaliação contínua NC a média aritmética arredondada das notas dos minitestes. As não comparências ou minitestes não entregues contam, naturalmente, como tendo a nota -1 para o cálculo dessa média.

Nota Final: Os alunos com nota escrita NE menor ou igual a 8 reprovarão à disciplina, independetemente da nota da avaliação contínua. Os alunos com nota escrita NE maior ou igual a 9 terão nota final, em função da nota da avaliação contínua, dada pela seguinte tabela:


NC
		-1	0	1
	9	REP	REP	10
	10	REP	10	11
	11	10	11	12
	12	11	12	13
	13	12	13	14
NE	14	13	14	15
	15	14	15	16
	16	16	16	16
	17	17	17	17
	18	ORAL	ORAL	ORAL
	19	ORAL	ORAL	ORAL
	20	ORAL	ORAL	ORAL

Orais: Os alunos classificados nas provas escritas com nota superior a 17 terão direito a submeter-se a uma prova oral, a combinar com o responsável pela disciplina, na qual se determinará a sua nota final entre 17 e 20 valores (independentemente da nota obtida na prova escrita NE). Os alunos que, estando nestas circunstâncias, optem por não realizar a prova oral serão classificados com nota final igual a 17.

Melhoria de Nota: Os alunos que pretendam inscrever-se na Secretaria para melhoria de nota, de acordo com o ponto 7 do regulamento de avaliação de conhecimentos, poderão optar por realizar a avaliação contínua nas aulas práticas, desde que as condições o permitam, devendo para tal apresentar um pedido ao docente da aula prática que pretendem frequentar até ao dia 31 de Março de 2007. Caso contrário, a sua classificação será exclusivamente determinada pela realização dos testes (incluindo o de recuperação) sendo a sua nota final à disciplina dada pela nota das provas escritas, isto é, será simplesmente igual ao arredondamento às unidades da soma das notas dos dois testes (NE), sem qualquer efeito de avaliação contínua como o da tabela acima.

Casos de Excepção: Os trabalhadores-estudantes, desportistas e incapacitados por problemas graves de saúde que façam prova de impossibilidade de comparência a uma das datas normais de teste, poderão optar pela realização de exame final. Para tal, deverão apresentar requerimento por escrito ao professor responsável, acompanhado de documentação relevante que demonstre a condição de excepção, que deverão submeter antes de 13 de Abril de 2007 (uma semana antes do primeiro teste). A disciplina dispõe de recursos muito limitados, pelo que esta opção funcionará de forma bastante restrita. Em particular, é condição suficiente para o pedido ser recusado que o aluno, depois de entregue o requerimento, compareça a um dos testes escritos regulares da disciplina. A nota final de um aluno que não realize testes será a nota obtida no exame, eventualmente aferida por prova oral no caso de o aluno obter nota de exame superior a 17, não se aplicando as disposições relativas à avaliação contínua. As datas de exame serão indicadas pelo GOP para a primeira e segunda chamadas do exame da disciplina.

Revisões de Prova: Os alunos terão direito a rever as suas provas escritas (os dois testes e o de recuperação) em data e local anunciados antecipadamente. O objectivo da revisão de provas consiste em eliminar eventuais erros de classificação de uma prova e não constitui de todo uma sessão de esclarecimento de dúvidas. Ao comparecerem na revisão de provas, os alunos devem trazer um enunciado da prova e uma folha de papel onde, se for caso disso, devem fazer a sua alegação por escrito. Seguir-se-ão as seguintes regras:

- cada aluno fará a sua revisão de prova individualmente e terá 20 minutos para escrever a sua alegação;
- não serão permitidas quaisquer discussões sobre as correcções das provas, quer entre alunos, quer com os professores presentes;
- as alegações serão avaliadas pelo professor responsável, e os resultados disponiblizados na página da cadeira no dia seguinte;
- a classificação dada inicialmente tanto poderá subir como também poderá descer, caso se verifique, depois de re-examinada a prova, ter sido nesse sentido o erro de classificação;

Horários de Dúvidas:

Os horários de atendimento dos alunos para o esclarecimento de dúvidas, pelos docentes da disciplina, são os indicados no início desta página. O atendimento realiza-se na sala de dúvidas do Depto. de Matemática (no piso 1 do Pavilhão de Matemática). Após a primeira meia hora do período de atendimento, o docente poderá terminar a sessão de dúvidas, caso não compareçam quaisquer alunos até essa altura ou, mais geralmente, quando estes não estejam a solicitar o docente. Os alunos poderão frequentar, se lhes for mais conveniente, os horários de dúvidas dos outros docentes de Análise Matemática IV. Para uma lista desses horários carregue aqui.

Exercícios, Testes e Exames

Testes/Exames

Atenção: As resoluções apresentadas, em grande detalhe, estão acima do grau de justificação que se exige aos alunos que fazem os exames. O objectivo destas resoluções, para além de apresentar a solução, é também ensinar a matéria correspondente e como aplicá-la à resolução dos problemas. Daí a extensão das respostas.

1º Teste (21/4/2007) Enunciado/Resolução branco , Enunciado/Resolução verde
2º Teste (9/6/2007) Enunciado/Resolução
Teste de Recuperação (18/6/07) 1º Teste , 2º Teste

Exercícios propostos para as aulas práticas:

1ª e 2ª Semana PDF
3ª Semana PDF
4ª Semana PDF
5ª Semana PDF
6ª Semana PDF
7ª Semana PDF
8ª Semana PDF
9ª Semana PDF
10ª Semana PDF
11ª Semana PDF
12ª Semana PDF
13ª Semana PDF
14ª Semana PDF

Fichas de exercícios resolvidos:

Ficha 1 - Números e funções complexas PS, PDF
Ficha 2 - Análise complexa PS, PDF
Ficha 3 - Teorema dos resíduos e equações diferenciais de primeira ordem PS, PDF
Ficha 4 - Equações diferenciais de primeira ordem escalares e formas canónicas de Jordan PS, PDF
Ficha 5 - Sistemas de equações lineares e equações de ordem superior à primeira PS, PDF
Ficha 6 - Séries de Fourier e método de separação das variáveis PS, PDF
Ficha 7 - Transformada de Laplace PS, PDF

Fichas suplementares:

Números complexos e funções complexas PS, PDF
Logaritmos e integração de funções complexas PS, PDF
Problemas avançados de análise complexa PS, PDF
Equações diferenciais escalares de primeira ordem PS, PDF
Problemas avançados sobre EDOs de primeira ordem PS, PDF
Equações diferenciais lineares PS, PDF
Séries de Fourier e transformada de Laplace PS, PDF
Problemas avançados sobre equações diferenciais lineares PS, PDF
Problemas avançados sobre equações diferenciais e séries de Fourier PS, PDF

Arquivo de testes e exames, de semestres anteriores:

2º Exame do 1º Semestre de 2006/2007 [Cursos LEC, LEGM, LMAC, LEFT] (enunciado) (resolução)
2º Teste/1º Exame do 1º Semestre de 2006/2007 [Cursos LEC, LEGM, LMAC, LEFT] (enunciado) (resolução)
1º Teste do 1º Semestre de 2006/2007 [Cursos LEC, LEGM, LMAC, LEFT] (enunciado) (resolução)
2º Teste do 1º Semestre de 2006/2007 [Cursos LEEC, LEIC] (enunciado/resolução)
1º Teste do 1º Semestre de 2006/2007 [Cursos LEEC, LEIC] (enunciado/resolução)
2º Teste do 2º Semestre de 2005/2006 [Cursos LEIC, LEM, LEGM, LEMAT, LEN] (enunciado/resolução)
1º Teste do 2º Semestre de 2005/2006 [Cursos LEIC, LEM, LEGM, LEMAT, LEN] (enunciado/resolução)
2º Exame do 1º Semestre de 2005/2006 [Cursos LEC, LEEC, LEA, LEN, LMAC, LEFT] (enunciado) (resolução)
2º Teste/1º Exame do 1º Semestre de 2005/2006 [Cursos LEC, LEEC, LEA, LEN, LMAC, LEFT] (enunciado) (resolução)
1º Teste do 1º Semestre de 2005/2006 [Cursos LEC, LEEC, LEA, LEN, LMAC, LEFT] (enunciado) (resolução)
2º Teste do 1º Semestre de 2005/2006 [Cursos LCI, LEAM, LEBL, LEBM, LEGM, LEIC, LEM, LEMAT, LEMG, LEQ, LQ] (enunciado/resolução)
1º Teste do 1º Semestre de 2005/2006 [Cursos LCI, LEAM, LEBL, LEBM, LEGM, LEIC, LEM, LEMAT, LEMG, LEQ, LQ] (enunciado/resolução)
2º Exame do 2º Semestre de 2001/2002 PS, PDF
2º Teste/1º Exame do 2º Semestre de 2001/2002 PS, PDF
1º Teste do 2º Semestre de 2001/2002 PS, PDF
2º Teste / 1º Exame do 1º Semestre de 2001/2002 PS, PDF
1º Teste do 1º Semestre de 2001/2002 PS, PDF
2º Exame do 2º Semestre de 2000/2001 PS, PDF
2º Teste/1º Exame do 2º Semestre de 2000/2001 PS, PDF
1º Teste do 2º Semestre de 2000/2001 PS, PDF

Análise matemática, na internet

Applets, em Java, com exemplos de Análise Complexa (da página de Terence Tao)

Outros links de interesse

The MacTutor History of Mathematics Archive: Site de história de matemática, e fundamentalmente de biografias de centenas de matemáticos.
World of Mathematics (Wolfram Research): Enciclopédia on-line de matemática. Aqui poderá encontrar referências e explicações de todos os conceitos da matemática actual, amplamente ilustrados com exemplos e gráficos.

Páginas de outros professores de AMIV:

Para obter enunciados e resoluções de exames e testes, exercícios resolvidos ou outra informação relevante, veja as páginas de outros responsáveis de Análise Matemática IV.