Topologia Geral e Introdução à Análise Funcional

Responsável: Gustavo Granja
Email: ggranja@math.ist.utl.pt
Aulas teóricas: 2a feira, das 8h às 9h30, na sala V115 e 4a feira, das 8h às 9h30 na sala V002.
Aulas práticas: 4a feira, das 9h30 às 11h30, na sala V003.
Horário de dúvidas: 3a feira, das 14h às 16h30, ou por marcação (combinem comigo nas aulas ou por e-mail).


Introdução: A Topologia Geral é a parte da Matemática que estuda a noção de continuidade. Um bom entendimento dos conceitos e noções básicas de Topologia Geral são um pré-requisito para qualquer estudo aprofundado em Álgebra, Análise, ou Geometria. Este curso tem como objectivos, por um lado proporcionar um conhecimento destas noções e resultados básicos, e por outro, evidenciar a interacção com outras àreas da Matemática.

Os artigos do Daniel Biss de que vos falei na aula (que generalizam a teoria de revestimentos introduzindo uma topologia no grupo fundamental) são: Se quiserem cópias dos artigos, peçam-me.

Resumos das aulas teóricas ps , pdf .

Trabalhos de casa As seguintes fichas não são para entregar (a não ser que vocês queiram). É no entanto recomendado que façam a primeira delas uma vez que esta matéria sai no exame. Exames

Programa (corrigido de forma a reflectir a matéria dada efectivamente)

Parte I Topologia Geral

Semana 1 (19/02 a 25/02) : Ordinais. Indução transfinita. O Lema de Zorn e princípio de máximo. Espaços topológicos. Topologias com o mesmo suporte. Bases e subbases. Topologia da ordem. Topologia induzida. Topologia determinada por uma métrica. Interior, fecho, fronteira, derivado de um conjunto. Espaços T1 e espaços Hausdorff.
Semana 2 (26/02 a 09/03): Aplicações contínuas. Propriedades. O Lema da colagem. Homeomorfismos. A categoria dos espaços topológicos. A topologia produto e a sua propriedade universal. A topologia caixa.
Semana 3 (10/03 a 16/03): Espaços metrizáveis. A métrica limitada standard. Metrizabilidade de um produto contável de espaços metrizáveis. A métrica uniforme. Aplicações abertas e fechadas. A topologia quociente.
Semana 4 (17/03 a 23/03): Topologias iniciais e finais. Espaços conexos. Caracterização dos conexos nos contínuos lineares. Teorema do valor médio. Conexidade por arcos. Componentes conexas e componentes conexas por arcos. Espaços localmente conexos. Functores. O functor conjunto das componentes conexas por arcos.
Semana 5 (24/03 a 30/03): Espaços compactos. Caracterização dos compactos nos conjuntos totalmente ordenados satisfazendo o axioma do supremo. O Teorema de Weierstrass. O Teorema de Heine-Borel. O Teorema de Tychonoff.
Semana 6 (31/03 a 06/04): Lema de Lebesgue para espaços métricos compactos. Continuidade uniforme. A propriedade de Bolzano-Weierstrass. Espaços sequencialmente compactos. Caracterização dos compactos em espaços métricos. Espaços localmente compactos. Mergulhos. Definição de compactificação. A compactificação de Alexandroff e a sua propriedade universal. Axiomas de numerabilidade. Espaços Lindelof.
Semana 7 (07/04 a 13/04): Implicações entre os vários axiomas em geral e no caso de espaços metrizáveis. Preservação ou não dos axiomas mediante várias operações sobre os espaços. Redes. Espaços regulares e espaços normais. Um espaço regular com base contável é normal. Espaços compactos Hausdorff e espaços métricos são normais. O Lema de Urysohn.
Semana 8 (14/04 a 27/04): O Teorema da extensão de Tietze. Espaços completamente regulares. O mergulho functorial dos espaços completamente regulares em produtos de cópias de R. O teorema de metrização de Urysohn. Variedades topológicas. Partições de unidade finitas. Mergulho de variedades topológicas compactas em Rn. A compactificação de Stone-Cech e a sua propriedade universal.
Semana 9 (28/04 a 04/05): Espaços métricos completos. Exemplos: espaços de funções limitadas e de funções contínuas. Existência do completado e a sua propriedade universal. Contracções e o teorema do ponto fixo. Espaços de Baire. Os espaços Hausdorff compactos e os espaços métricos completos são espaços de Baire. Um subconjunto de um espaço métrico completo é compacto sse é completo e totalmente limitado. Famílias equicontínuas.
Semana 10 (05/05 a 11/05): O teorema de Ascoli para funções contínuas de espaços compactos para Rn. As topologias da convergência pontual, compacta e uniforme para funções com valores num espaço métrico. A topologia compacta-aberta. Enunciado da versão geral do Teorema de Ascoli caracterizando os compactos de C(X,Y) na topologia compacta-aberta quando Y é métrico e X localmente compacto e Hausdorff. A aplicação de avaliação. A adjunção C(X,C(Y,Z))=C(XxY,Z) para Y localmente compacto e Hausdorff. A relação de homotopia.

Parte II Introdução à Topologia Algébrica: o grupo fundamental

Semana 11 (12/05 a 18/05): A relação de homotopia de caminhos. A operação de composição de caminhos. O grupóide fundamental. O grupo fundamental. Dependência do ponto de base. Espaços simplesmente conexos. O grupo fundamental como functor da categoria dos espaços pontuados para a categoria dos grupos. Invariância mediante homeomorfismo. Aplicações de revestimento. A propriedade do levantamento único de caminhos. A propriedade do levantamento único de homotopias.
Semana 12 (19/05 a 25/05): A aplicação de levantamento. O grupo fundamental de uma circunferência. O Teorema do ponto fixo de Brower e Teorema de Borsuk-Ulam em dimensão 2. O grupo fundamental de uma esfera de dimensão n>1. Os espaços projectivos reais e o seu grupo fundamental. Os homomorfismos induzidos por aplicações homotópicas. Equivalências de homotopia e retracções por deformação. Invariância do grupo fundamental por equivalências de homotopia.
Semana 13 (26/05 a 01/06): O coproduto (ou produto livre) de grupos. Grupos livres. Grupos definidos por geradores e relações. Definição de pushout. O pushout (ou produto livre amalgamado) na categoria dos grupos. O Teorema de Seifert-Van Kampen.
Semana 14 (02/06 a 04/06): O teorema de levantamento a partir de espaços localmente conexos por arcos. Equivalências de revestimentos. O revestimento universal. Espaços semi-localmente simplesmente conexos. A correspondência de Galois entre classes de equivalência de revestimentos e classes de conjugação de subgrupos do grupo fundamental.

A seguinte matéria que estava planeada inicialmente não foi dada:

Parte III Introdução à Análise Funcional

Semana ** : Operadores limitados entre espaços normados. O Teorema de Hahn-Banach e o Teorema de Banach-Steinhaus. Teoremas da aplicação aberta e do gráfico fechado.



Bibliografia:
Avaliação: A avaliação consiste em trabalhos de casa semanais e um exame final. A nota final é a média da nota do exame final com peso 70% e da nota média dos trabalhos de casa com peso 30%.
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Última actualização: 21 de Julho de 2003