Geometria Diferencial, Outono 2000
Responsável:Ana
Cannas da Silva
Email: acannas@math.ist.utl.pt
Aulas teóricas: 2ª e 3ª feiras, das 8h às 9h30, na sala V136.
Aulas práticas: 2ª feiras, das 11h às 13h, na sala V127.
Horário de dúvidas: não fixo - as dúvidas podem ser discutidas
em quaisquer altura e local convenientes.
Vitrina da cadeira:
no piso 2 do edifício de Pós-Graduação.
Podem inscrever-se nesta cadeira alunos de licenciatura e de mestrado.
Introdução:
A geometria diferencial é a geometria de espaços que localmente
são como o espaço euclideano Rn.
As quatro partes desta cadeira cobrem fundamentos de geometria diferencial.
Todos os tópicos são ilustrados com exemplos importantes:
superfícies de Riemann, espaços projectivos,
grassmannianas, grupos de Lie clássicos, etc.
Avisos:
- As notas finais foram lançadas nas secretarias (Graduação e Pós-Graduação)
no dia 29 de Janeiro de 2001.
Materiais:
- Anúncio em ficheiros
PostScript e
PDF,
contendo o programa e a bibliografia
- Ficha 1 em ficheiros
PostScript e
PDF
(para 2ª feira, 2 de Outubro):
Grassmannianas Reais
- Ficha 2 em ficheiros
PostScript e
PDF
(para 2ª feira, 16 de Outubro):
Grupo Ortogonal
- Ficha 3 em ficheiros
PostScript e
PDF
(para 2ª feira, 16 de Outubro, em alternativa à ficha 2):
Variedades Algébricas
- Ficha 4 em ficheiros
PostScript e
PDF
(para 2ª feira, 30 de Outubro):
Exponenciais de Matrizes
- Ficha 5 em ficheiros
PostScript e
PDF
(para 2ª feira, 13 de Novembro):
Teorema de Frobenius
- Ficha 6 em ficheiros
PostScript e
PDF
(não é para entregar):
Álgebra Multilinear
- Ficha 7 em ficheiros
PostScript e
PDF
(para 2ª feira, 27 de Novembro):
Lema de Poincaré
- Ficha 8 em ficheiros
PostScript e
PDF
(não é para entregar):
Orientação
- Ficha 9 em ficheiros
PostScript e
PDF
(não é para entregar):
Variedades Simplécticas
- Ficha 10 em ficheiros
PostScript e
PDF
(para 2ª feira, 11 de Dezembro):
Grau de uma Aplicação
- Bibliografia adicional para a Parte IV do programa, em ficheiros
PostScript e
PDF
- Ficha 11 em ficheiros
PostScript e
PDF
(para 6ª feira, 22 de Dezembro):
Conexões
- Ficha 12 em ficheiros
PostScript e
PDF
(não é para entregar):
Vizinhanças Tubulares
- Ficha 13 em ficheiros
PostScript e
PDF
(não é para entregar):
Espaços Projectivos Complexos
- Ficha 14 em ficheiros
PostScript e
PDF
(não é para entregar):
Fibrados de Linhas sobre a Esfera de Riemann
- Exame do ano passado para praticar, em ficheiros
PostScript e
PDF
- Exame em ficheiros
PostScript e
PDF
As fichas de exercícios e outros materiais vão sendo
incluídos nesta página ao longo do semestre.
Se tiver dificuldades em processar ou aceder a documentos em formatos
PostScript ou PDF
click aqui.
(Os ficheiros PDF são legíveis com Acrobat Reader que se pode obter
grátis de Adobe Systems
para um grande número de sistemas operativos.)
Programa:
- Parte I
Variedades (18 Setembro - 6 Outubro)
- Semana 1
Variedades, coordenadas, funções e aplicações suaves,
topologia.
- Semana 2
Partições da unidade, vectores tangentes, espaço tangente, derivada.
- Semana 3
Submersões, imersões, subvariedades, teorema de Whitney.
-
- Parte II
Teoria de Lie (9-27 Outubro)
- Semana 4
Campos vectoriais, curvas integrais, fluxos,
derivada de Lie, parêntesis de Lie.
- Semana 5
Acções locais, distribuições,
teorema de Frobenius local e global.
- Semana 6
Grupos de Lie, álgebras de Lie, acções.
-
- Parte III
Formas Diferenciais (30 Outubro - 24 Novembro)
- Semana 7
Álgebra exterior, fibrado cotangente, formas diferenciais,
derivada exterior.
- Semana 8
Fórmula de Cartan, co-homologia de de Rham,
lema de Poincaré.
- Semana 9
Invariância por homotopia, orientação, integração,
mudança de coordenadas.
- Semana 10
Teorema de Stokes, sequência de Mayer-Vietoris, aplicações.
-
- Parte IV
Fibrados (27 Novembro - 22 Dezembro)
- Semana 11
Fibrados vectoriais, conexões, curvatura, métricas.
- Semana 12
Transporte paralelo, variedades riemannianas, geodésicas.
- Semana 13
Fibrados complexos, classes características, teoria de Chern-Weil.
- Semana 14
Teorema de Gauss-Bonnet, fibrados principais, conexões de Ehresmann.
Bibliografia:
- M. P. do Carmo,
Geometria Riemanniana,
Instituto de Matemática Pura e Aplicada, Rio de Janeiro, 1979.
- S.-S. Chern,
appendix on the geometry of characteristic classes
in
Complex Manifolds without Potential Theory,
Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1979.
- M. Postnikov,
Leçons de Géometrie, Géometrie Différentielle,
Éditions Mir, Moscow, 1990.
- texto recomendado: M. Spivak,
A Comprehensive Introduction to Differential Geometry,
Vol. I,
Publish or Perish, Inc., Wilmington, 1979.
- Warner, F.,
Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups,
Graduate Texts in Mathematics 94, Springer-Verlag,
New York-Berlin, 1983.
Avaliação:
Há 7 trabalhos de casa quinzenais.
A nota prática é a média das seis melhores notas nos
trabalhos de casa.
A nota final é a média da nota do exame final
com peso 70% e da nota prática com peso 30%.
Última actualização:
29 de Janeiro de 2001